Пред ис л о вие ЧАСТЬ I ПЛАНИМЕТРИЯ Глава 1 ОБЗОР ОСНОВНЫХ ФАКТОВ АБСОЛЮТНОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ Геометрия Лобачевского (или гиперболическая геометрия) основана на аксиомах абсолютной геометрии и на аксиоме Лобачевского, поэтому все понятия, определения и теоремы абсолютной геометрии имеют место и в геометрии Лобачевского. <...> Если hk—неразвернутый угол и ∠hk = ∠hk,тосуществует наложение, при котором луч h переходит влуч h,алуч k—в луч k. <...> 11 Угол, меньший прямого угла, называется острым, а неразвернутый угол, больший прямого угла,—тупым. <...> В самом деле, изтеоремы о сумме углов треугольника следует, что ∠B = ∠B1, поэтому треугольники ABC и AB1C равны по стороне и двум прилежащим углам. <...> Изтеоремы 6 мы заключаем, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза (т. е. сторона, лежащая против прямого угла) больше любого изего катетов (т. е. двух других его сторон). <...> Тогда существует единственная точка C, лежащая на отрезке AB, такая, что любая точка, лежащаямежду точкамиA иC,принадлежит классу K1, а любая точка, лежащая между точками C и B,— классу K2. <...> Напомним, что длина перпендикуляра, проведенного източки к прямой, называется расстоянием от точки до прямой. <...> Серединный перпендикуляр к отрезку есть прямая, состоящая из всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от концов данного отрезка. <...> Лемма. ЕслиABC иABC—произвольные треугольники, то существует не более одного движения, при котором точки A, B и C переходят соответственно вточки A,B иC. <...> Изтеоремы 1 следует, что все свойства наложений являются также свойствами движений. <...> Отсюда мы заключаем, что при движении неразвернутый угол отображается на равный ему неразвернутый угол. <...> Напомним, что две точки A и B называются симметричными относительно прямой a,если a—серединный перпендикуляр котрезку AB. <...> Если h—луч положительного направления данной направленной прямой, то эту направленную прямую часто будем обозначать через h. <...> Аналогично, если UV—луч положительного <...>
Геометрия_Лобачевского_.pdf
Л. С. Атанасян
ГЕОМЕТРИЯ
Лобачевского
4-е издание, электронное
Москва
Лаборатория знаний
2021
Стр.2
УДК 087.5:514
ББК 22.151
А92
Атанасян Л. С.
А92
Геометрия Лобачевского / Л. С. Атанасян.—4-е изд.,
электрон.—М. : Лаборатория знаний, 2021.—467 с.—
Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10".—
Загл. с титул. экрана.—Текст : электронный.
ISBN 978-5-93208-508-0
Эта книга выгодно отличается от других пособий
по геометрии Лобачевского. Материал излагается на основе
школьной аксиоматики абсолютной геометрии и аксиомы
Лобачевского. Первая часть книги посвящена планиметрии
Лобачевского, а вторая—стереометрии. В конце каждой
главы даются задачи, в конце книги—ответы и указания
к ним.
Книга может с успехом использоваться студентами и преподавателями
и физико-математических факультетов университетов,
и педагогических вузов. Она также будет полезна
учителям классов с углубленным изучением математики
для индивидуальной работы с учениками, интересующимися
математикой.
УДК 087.5:514
ББК 22.151
Деривативное издание на основе печатного аналога: Геометрия
Лобачевского / Л. С. Атанасян.—2-е изд., испр.—
М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014.—464 с. : ил.—
ISBN 978-5-9963-0814-9.
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении
ограничений, установленных техническими средствами защиты
авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя
возмещения убытков или выплаты компенсации
ISBN 978-5-93208-508-0
○c Лаборатория знаний, 2015
Стр.3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
Часть I. Планиметрия
Глава 1. Обзор основных фактов абсолютной геометрии
на плоскости .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
§ 1. Обзор основных следствий и аксиом групп I–III
абсолютной планиметрии .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
3
6
6
§2. Треугольники .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 11
§ 3. Аксиомы непрерывности. Измерение отрезков
иуглов . .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 18
§ 4. Движения. Осевая и центральная симметрии .. .. 23
§ 5. Сонаправленность лучей. Направленная прямая .. 28
Задачи к главе 1 .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 32
Глава 2. Аксиома Лобачевского. Параллельные прямые
на плоскости Лобачевского .. .. .. .. .. .. 35
§ 6. Аксиома Лобачевского. Теоремы о сумме углов
треугольника и четырехугольника .. .. .. .. .. .. .. . 35
§ 7. Признаки равенства треугольников на плоскости
Лобачевского .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 41
§ 8. Предложения, эквивалентные аксиоме Лобачевского
.. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 46
§ 9. Параллельность луча и прямой .. .. .. .. .. .. .. .. . 51
§ 10. Параллельность направленных прямых .. .. .. .. .. 55
§ 11. Параллельность ненаправленных прямых .. .. .. .. 60
§ 12. Функция Лобачевского .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 64
Задачи к главе 2 .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 69
Глава 3. Взаимное расположение прямых на плоскости
Лобачевского .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 73
§ 13. Двупрямоугольник. Четырехугольник Саккери .. . 73
§ 14. Взаимное расположение параллельных прямых .. 77
§ 15. Расходящиеся прямые .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 85
§ 16. Заградительные прямые .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 91
§ 17. Проекция прямой на прямую .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 99
Задачи к главе 3 .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 104
Стр.462
462 Оглавление
Глава 4. Окружность, эквидистанта и орицикл .. .. .. 107
§ 18. Пучки прямых на плоскости Лобачевского и их
образы при движении .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 107
§ 19. Траектории пучков .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 112
§20. Окружность .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 120
§ 21. Взаимное расположение прямой и окружности
идвух окружностей .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 126
§ 22. Эквидистанта .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 132
§ 23. Орицикл .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 138
§ 24. Взаимное расположение прямой и орицикла. Предельная
линия . .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 146
Задачи к главе 4 .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 154
Глава 5. Треугольники, четырехугольники и правильные
многоугольники .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 158
§ 25. Сумма углов треугольника .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 158
§ 26. Замечательные точки и прямые треугольника .. . 166
§ 27. Взаимное расположение прямых, содержащих высоты
треугольника .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 172
§ 28. Основные виды выпуклых четырехугольников .. . 178
§ 29. Правильные многоугольники .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 189
Задачи к главе 5 .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 195
Глава 6. Движения плоскости Лобачевского. Классификация
движений .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 198
§ 30. Движения плоскости. Произведение движений .. . 198
§ 31. Инвариантные точки и инвариантные прямые
движения .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 202
§ 32. Орициклическое движение .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 210
§ 33. Классификация движений на плоскости Лобачевского.
.. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 216
§ 34. Группа симметрий циклических линий .. .. .. .. .. 218
§ 35. Конгруэнтные отображения прямой на прямую.
Движения прямой .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 221
Задачи к главе 6 .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 225
Глава 7. Расширенная плоскость. Вырожденные треугольники
.. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 228
§ 36. Отображение плоскости Лобачевского на открытый
круг .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 228
§ 37. Образы простейших фигур при отображении ΩOr 234
§ 38. Несобственные точки плоскости. Расширенная
плоскость .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 240
§ 39. Вырожденные треугольники .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 246
Стр.463
Оглавление 463
§ 40. Биссектрисы и высоты вырожденного треугольника
.. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 252
§ 41. Движения расширенной плоскости .. .. .. .. .. .. .. 261
Задачи к главе 7 .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 269
Глава 8. Дефект и площадь многоугольника на плоскости
Лобачевского .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 273
§ 42. Дефект многоугольника .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 273
§ 43. Площадь многоугольника. Равносоставленные
и равновеликие многоугольники .. .. .. .. .. .. .. .. 280
§ 44. Основные теоремы о площадях многоугольников . 285
§ 45. Площадь вырожденного треугольника .. .. .. .. .. . 291
Задачи к главе 8 .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 296
Часть II. Стереометрия
Глава 1. Обзор основных фактов абсолютной геометрии
в пространстве .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 300
§ 1. Обзор основных следствий из аксиом абсолютной
геометрии трехмерного пространства .. .. .. .. .. .. 300
§ 2. Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости 303
§ 3. Перпендикулярность плоскостей .. .. .. .. .. .. .. .. 306
§ 4. Движения пространства .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 310
Глава 2. Аксиома Лобачевского. Параллельность
прямых и плоскостей в пространстве
Лобачевского .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 314
§ 5. Аксиома Лобачевского. Параллельность лучей .. . 314
§ 6. Параллельность прямых в пространстве. Взаимное
расположение прямых .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 317
§ 7. Параллельность прямой и плоскости. Взаимное
расположение прямой и плоскости .. .. .. .. .. .. .. 321
§ 8. Параллельность плоскостей .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 327
§ 9. Взаимное расположение двух плоскостей .. .. .. .. 332
Задачи к главе 2 .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 338
Глава 3. Простейшие поверхности в пространстве
Лобачевского .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 341
§ 10. Связки прямых в пространстве и их траектории . 341
§ 11. Сфера . .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 350
§ 12. Эквидистантная поверхность .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 354
§ 13. Орисфера .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 361
Стр.464
464 Оглавление
Глава 4. Орицикл. Внутренние геометрии орисферы
и эквидистантной поверхности .. .. .. .. .. .. .. 368
§14. Длина дуги орицикла .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 368
§ 15. Концентрические дуги орициклов .. .. .. .. .. .. .. . 372
§ 16. Гиперболические функции .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 377
§ 17. Трехвершинник. Абсолютная дуга орицикла .. .. . 379
§ 18. Внутренние геометрии орисферы и эквидистантной
поверхности . ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 386
Задачи к главе 4 .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 392
Глава 5. Гиперболическая тригонометрия и ее приложения
. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 394
§ 19. Тригонометрические соотношения в прямоугольном
треугольнике ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 394
§ 20. Тригонометрические соотношения в произвольном
треугольнике .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 400
§ 21. Аналитическое выражение функции Лобачевского 406
§ 22. Теорема Чевы, свойства биссектрис и медиан
треугольника .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 410
Задачи к главе 5 .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 415
Глава 6. Непротиворечивость геометрии Лобачевского.
Геометрия Лобачевского и реальное
пространство . .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 417
§ 23. Интерпретация Кэли—Клейна системы аксиом
трехмерной геометрии Лобачевского .. .. .. .. .. .. . 417
§ 24. Наложения в интерпретации Кэли—Клейна .. .. .. 421
§ 25. Проверка выполнения аксиом групп III–V в интерпретации
Кэли—Клейна .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 429
§ 26. Открытие геометрии Лобачевского .. .. .. .. .. .. .. 432
§ 27. Геометрия Лобачевского и реальное пространство 436
Задачи к главе 6 .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 441
Приложение 1 . .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 442
Приложение 2 . .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 444
Указания и ответы .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 447
Литература . .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 455
Предметный указатель .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 456
Стр.465