Функции от матриц (110,00 руб.)

Стр.1

Стр.3

Стр.6

Стр.7

Стр.8

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ Учебное пособие для вузов Составители: Т. Н. Глушакова, К. П. Лазарев Воронеж Издательский дом ВГУ 2015

Стр.1

СОДЕРЖАНИЕ 1. Собственные векторы и собственные значения оператора ...................... 4 1.1. Основные понятия ............................................................................... 4 1.2. Алгоритм нахождения собственного значения и собственного вектора оператора ....................................................................................... 4 1.3. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения ....................................................................................................... 4 2. Жорданова форма и жорданов базис матрицы оператора ........................ 5 2.1. Жорданова форма матрицы ................................................................ 5 2.2. Алгоритм нахождения жорданова базиса для одной жордановой клетки ..................................................................................... 5 2.3. Алгоритм нахождения жордановой формы для матрицы 3-го порядка ................................................................................................. 6 3. Примеры нахождения жордановой формы и жорданова базиса для матриц 3-го порядка ....................................................................... 8 4. Функции от диагональных и клеточно-диагональных матриц ................ 18 Библиографический список ............................................................................. 23 3

Стр.3

высоты 1−k Определение 7. Вектор kf называется присоединенным вектором . Определение 8. Присоединенный вектор высоты 1 называется просто присоединенным вектором. i Жорданов базис состоит из собственных и присоединенных векторов. Утверждение. Алгебраическая кратность αi собственного значения равна сумме размеров жордановых клеток с этим собственным значением (или числу собственных значений λi на главной диагонали). Утверждение. Геометрическая кратность ik собственного значения i равна числу клеток в жордановой форме с собственным значением λi (или числу линейно независимых собственных векторов, соответствующих собственному значению λi). 2.3. Алгоритм нахождения жордановой формы для матрицы 3-го порядка Пусть дана матрица 3-го порядка. Надо найти жорданову форму и жорданов базис. 1. Пусть характеристический многочлен матрицы eA имеет вид 3 φ() ( 1) (λλ )(λλ )(λλ ) 12 3 = − ⋅− ⋅− ⋅− , где λλ (i ≠ . 1 ij ≠ Тогда жорданова форма матрицы имеет вид Af 12⋅  =    λ 00 0 λ 2 0 00 λ3 2. Пусть характеристический многочлен матрицы eA имеет вид 32 φ(λ)( 1)=− ⋅ (λ – λ )(λ–λ ) , где λλ (i ≠ . ij ≠ Возможны два случая: а) ( 11 rang Ae − 1 =I ) 1, поэтому 11 Af  =    λ 00 0 λ 0 00 λ 1 1 2 б) rang A I 1 ( −= , поэтому 11 e λ )2 Af  =    λ 10 0 λ 0 00 λ 1 1 2 3. Пусть характеристический многочлен матрицы eA имеет вид =− (λλ ) . φ(λ)( 1) ⋅ − 6 33 1 . k 3( λ )1e =−rang A I− = и, следовательно, жорданова форма содержит одну жорданову клетку с собственным значением λ1: ; k 3( λ )2e j ) =−rang A I− = и, следовательно, α k= , поэтому жорданова форма содержит две жордановы клетки с собственным значением λ1: j ) . λ λ λ λ

Стр.6

Возможны два случая: а) ( 1 Af rang Ae − 1 =I ) 1, поэтому k1 = − rang Ae − 1I =) 2 и, следовательно, 3  =    λ 10 0 λ 0 00 λ 1 1 жорданова форма содержит одну жорданову клетку с собственным значением λ1: A0 1 00 f1 . λ  =λ   1 Замечание. Число единиц над главной диагональю в одной жордановой клетке равно числу присоединенных векторов. б) rang Ae − 1 =I ) 2, поэтому k1 = − rang Ae − 1I =) 1 и, следовательно,  1λ 10 ( 3 ( ; ( жорданова форма содержит две жордановы клетки с собственным значением λ1: 7 λ λ λ λ

Стр.7

3. ПРИМЕРЫ НАХОЖДЕНИЯ ЖОРДАНОВОЙ ФОРМЫ И ЖОРДАНОВА БАЗИСА ДЛЯ МАТРИЦ 3-го ПОРЯДКА Приведем примеры нахождения жордановой формы и жорданова базиса для каждого из рассмотренных выше случаев. Пример 1. Найти жорданову форму и жорданов базис матрицы оператора Ae = 6      Вычислим ϕ λ = −λ = e ( ) det(A I) 6 4− −λ 53 2 4 41 6 −λ − Af =      −−λ Таким образом, получили три собственных значения 0 0 3 0 2 0 1 0 0 Найдем собственный вектор значению AI x e () θ−= и, следовательно, A I− = − − 3 4 2 1      6 4 − − − →0 1   то есть    x 2x x значению (2 )AI x x1 = 3 2 = 3 Найдем собственный вектор 2 2= e−= , поэтому θ 8 fc , соответствующий собственному 2 . Очевидно, что он удовлетворяет уравнению 3 2 4 4 5 4 → 0 0      4 0 − −      4 2→0 1     4 − − − 3 2 1 2 →− 3 0 1 1 2      1 0 − − 1, 2    , поэтому можем взять f1 = (1, 2, 1). 4   − 3 2  2 −  →   fc , соответствующий собственному 1 1 1= . Очевидно, что он является решением уравнения      . 1 1= , 2 2= , 3 3= . Так как алгебраическая кратность каждого из них равна 1, то жорданова форма имеет следующий вид: = − λ − ⋅ λ − ⋅ λ − ( 1) ( 2) ( 3) . 5 − − 3 2 4 4 4 1 − 6      . Решение λ λ λ λ λ

Стр.8