МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
А.В. Глушко, В.В. Провоторов, А.С. Рябенко
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И ЗАДАЧА ШТУРМА–ЛИУВИЛЛЯ
Учебное пособие
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2015
1
Стр.1
СОДЕРЖАНИЕ
Введение ............................................................................................................ 4
Раздел 1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ........................................... 5
§ 1. Понятие нормированного пространства ................................................. 5
§ 2. Функциональное пространство
CL , ]a b∞
[
§ 3. Функциональные пространства CL a b
p [ ,,] ≤<∞ с метрикой
1
............................................... 9
p
уклонения в p -среднем .......................................................................... 12
Раздел 2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ............................................... 17
§ 1. Классификация линейных интегральных уравнений .......................... 17
§ 2. Уравнение Фредгольма с вырожденным ядром ................................... 21
§ 3. Теорема о разрешимости (общий случай) ............................................ 28
§ 4. Альтернатива Фредгольма ...................................................................... 35
§ 5. Метод последовательных приближений (метод итераций) ................ 37
§ 6. Первоначальные сведения об операторах в нормированных
и евклидовых пространствах .................................................................. 45
§ 7. Самосопряженный интегральный оператор ......................................... 53
§ 8. Билинейное разложение симметричного ядра и его итераций ........... 60
§ 9. Разложение истокообразной функции
(теорема Гильберта–Шмидта) ................................................................ 71
§ 10. Билинейное разложение ядра и его итераций (продолжение) .......... 73
§ 11. Интегральное уравнение с симметричным ядром ............................. 76
§ 12. Заключительные замечания ................................................................... 80
Раздел 3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВТОРОГО ПОРЯДКА (КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ, РЕШЕНИЕ
РЯДАМИ, СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ) ................................ 82
§ 1. Линейный дифференциальный оператор второго порядка ................ 82
§ 2. Регулярная краевая задача и задача Штурма–Лиувилля
(предварительные сведения) .................................................................. 85
-функция, фундаментальное решение, функция Грина ................... 87
§ 3.
§ 4. Эквивалентность задачи Штурма–Лиувилля интегральному
уравнению. Теорема Стеклова ............................................................... 95
§ 5. Общая краевая задача. Задача с параметром. Симметризуемые
Задачи ..................................................................................................... 100
§ 6. Уравнения с полиномиальными и рациональными коэффициентами.
Обыкновенные и особые точки. Решение точками ........................... 103
§ 7. Уравнения Гаусса, Бесселя. Цилиндрические функции .................... 113
§ 8. О сингулярных краевых задачах .......................................................... 123
Библиографический список .......................................................................... 138
3
δ
Стр.3
Тогда сходимость последовательности элементов { }n
0
=
f ⊂ X к f X∈
определяется следующим образом: последовательность элементов
{ }n
> выполняется
неравенство −< .
При этом пишут
lim
X
f =n→∞ fn
f ⊂ X называется сходящейся к элементу f X∈ , если для любого
> можно указать номер NN () такой, что приnN
ff n
или fn→f .
X
Определенная таким образом сходимость в X называется сходимостью
по норме. Позже (см. замечание в конце параграфа) будут рассмотрены
понятия метрического пространства и сходимости в нем. Нормированное
пространство является метрическим пространством с метрикой
(1). Поэтому мы будем называть сходимость по норме также сходимостью
по метрике (1).
Сходящаяся по норме последовательность обладает привычными
свойствами:
1) сходящаяся в X последовательность может иметь только один
предельный элемент;
2) всякая подпоследовательность сходящейся последовательности
сходится, причем к тому же пределу;
3) сходящаяся в X последовательность ограничена по норме.
Доказательства предложений 1 и 2 предоставляются в качестве упражнения
читателю.
Для примера докажем свойство 3.
Из сходимости fn→f следует, что для
X
кой, что ffn 1−< при nN
> получим nn
nN
n
fn
f
= найдется номер N та1
если
взять в качестве M максимальное из чисел 1
f M≤
полноты пространства X .
Определение. Последовательность { }n
=
для всех n 1≥ . Это и означает, что последовательность { }n
ff f=− + f ≤ −+ < + . Следовательно,
ff f + , то
f ог>
. По неравенству треугольника при
f
f
1
,...,
N , 1
раничена (по норме).
Важным понятием, связанным со сходимостью, является понятие
ментальной в X (или сходящейся в себе), если для любого
номер NN () такой, что как только >> , то nm
0
nN , mN
ff
f ⊂ X называется фунда>
найдется
−< .
Определение. Нормированное пространство X называется полным,
если любая фундаментальная последовательность элементов этого
6
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
Стр.6
пространства сходится к элементу, принадлежащему этому пространству.
странством.
Полное
нормированное пространство называется банаховым проНапомним,
что с понятием полноты мы встречались в математическом
анализе при построении теории вещественных чисел. Полезно оглянуться
на эту теорию с новой точки зрения. Пусть Q обозначает множество
рациональных чисел, R – множество вещественных чисел. Q (R)
как линейное пространство, элементами которого являются рациональные
(вещественные) числа, а скалярами – опять же рациональные (вещественные)
числа. Q (R) становится нормированным пространством, если в качестве
нормы числа брать его модуль. Нормированное таким образом
пространство R – полное (т.е. банахово), а пространство Q неполно. В
самом деле, в R любая фундаментальная последовательность имеет предел,
а, например, последовательность
1,
+
1
n
n
n = 1,2,...
фундаментальна в Q, но не имеет предела в Q (ее предел e – число ирраци-ональное).
Пространство R можно рассматривать как результат
«пополнения» Q. Процесс пополнения будет применен далее к неполным
нормированным пространствам, элементами которых являются функции.
Напомним еще, что числа
(«скаляры») в определении линейного
нормированного пространства берутся либо вещественными, либо комплексными.
В первом случае говорят, что X – вещественное нормированное
пространство, во втором – комплексное нормированное пространство.
различные
нормы. Две нормы называются эквивалентными, если они порождают
одну и ту же сходимость (т.е. последовательность { }n
⋅ и 2
⋅ достаточно,
чтобы их отношение было ограничено сверху и снизу, т.е.
1
R . Для элемента ()1
n
,...,
x 1 = ,xi
i=1
n
(2)
7
<≤ f ≤ <∞ ∈ ≠ .
Рассмотрим вещественное n -мерное координатное пространство
n
0, ,
CCf
12
2
f
X
x xx R=∈ определим нормы
n
f
0
В одном и том же линейном пространстве X можно определить
f ⊂ X ,
сходящаяся к элементу f X∈ по одной из норм, будет сходиться к f по
другой и наоборот). Ясно, что для эквивалентности норм 1
α
Стр.7
x 2 = ,xi
2
n
(3)
i=1
x ∞ = max i
= 1,...,
in x .
ряет аксиомам нормы. Нормы 12
справедливы очевидные неравенства
3
max x xn x n2 max x
11
ii j
==
Норма 2
октаэдрической, норма x ∞
iii
ij
≤≤ ≤ .
2
nn
x называется евклидовой или сферической, норма
– кубической.
Справедливо следующее утверждение.
Лемма. Любая норма ⋅ в n
1, 0, ..., 0 ,
x xe
1
=+ + x e .
...
Так как ≤= , то, учитывая 1
1
x xx
=
ij
j
n
придем к неравенству
2
2
x ≤Cx (C n= ).
2
Обратное неравенство доказывается от противного. Предположим,
что не найдется постоянной c , для которой
x cx≤
2
x mx>
2
y
m
=
x
x
m
m
2
вательность { }
m
С одной стороны, будем иметь
yj
y = и, следовательно, последоm
2
1
j
-х координат ограничена. Тогда, пользуясь свойством
8
.
(7)
.
Рассмотрим последовательность { }⊂ :
mn
yR
.
Тогда для любого натурального m можно указать элемент m
mm
x такой, что
(6)
n
n
x xe
=+ + ≤
...
11 ... + x e
++ =n
x e x e
...
+
ee n,
nn
nn
.
тельно, любые две нормы эквивалентны между собой).
Доказательство. Очевидно, что элементы
образуют базис в n
1
ee e== =
R и элемент ()1
0, 1, ..., 0 , ...
x xx=
,..., n
() () ()
12
n 0, 0, ..., 1
имеет представление
(5)
Взяв норму ⋅ от обеих частей равенства (5) и пользуясь неравенством
треугольника, получим 11
x 1 –
R эквивалентна евклидовой (следоваx
,,
(4)
Легко проверить, что каждое из написанных выражений удовлетвоxx∞
эквивалентны. В самом деле,
Стр.8