МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
ДИФРАКЦИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
Учебно-методическое пособие
Cоставители:
А.В. Зюльков,
А.В. Захаров
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2015
1
Стр.1
СОДЕРЖАНИЕ
Введение ............................................................................................................... 3
Методы описания и модели случайных электромагнитных полей ............... 3
Распространение электромагнитных волн ..................................................... 10
Метод функции Грина (интеграла Дюамеля) ................................................. 10
Разложение по плоским волнам. Пространственная частота ....................... 12
Дифракция стохастических полей ................................................................... 14
Прохождение случайной волны через отверстие в экране ........................... 15
Теорема Винера–Хинчина в теории пространственной когерентности ...... 21
Функция поперечной пространственной когерентности .............................. 21
Функция продольной пространственной когерентности .............................. 24
Библиографический список ............................................................................. 29
3
Стр.3
Btt ), ).
(r 21, , r , =− −t ) ≡ B s( ,
11 2 2
B(r r1 t2
Спектры однородных и стационарных пространственновременных
случайных полей. Обратимся теперь к спектральным представлениям
для стационарных и однородных случайных полей. Аналогом
временного случая здесь будет разложение по плоским волнам (см. далее):
dk xy z ,
= dk dk dk k
Et = kdk,
−∞−∞
(r, )
( , )e
i(( t r)
−k
d
случайного поля, т. е. (, )k -случайные функции
по-разному зависят от
и k
спектральными амплитудами пространственно-временного случайного поля.
Амплитуды (, )k
– волновой вектор. Величины (, )k мы будем называть
иk
в разных реализациях
, а правая часть выражения
(2) представляет собой стохастический интеграл. Возможность
разложения случайных функций в ряд Фурье и смысл получающихся соотношений
достаточно подробно обсуждаются, например, в [2].
Введем понятие энергетического спектра (спектра мощности) пространственно-временного
случайного поля и установим его связь с корреляционной
функцией. Записывая выражение для корреляционной функции
(, )
Bs
чайного поля получим
(, ) (
случайного поля, (, ) 0Gk ≥ . Отсюда непосредственно следуют соотношения,
являющиеся обобщением формул для временного случая (теоремы Винера-Хинчина)
−−−
BG tik e
(s,)== −∞ −∞
−∞ −∞
(, )
(ks) 1
d dk G, (,k)
∞∞
(2 )
∞∞
4 B( , )s e
(ks)
d ds.
(4)
В этих выражениях пространственно-временная корреляционная
функция и спектр случайного поля записаны в общем виде. При этом временной
ход корреляционной функции зависит от пространственных координат
s
нем
и, наоборот, пространственные корреляции изменяются со време.
Вместе с тем имеется класс задач статистической радиофизики и оптики,
когда временную зависимость поля во всех точках пространства можно
считать практически одинаковой. Тогда можно записать
(, )
Er t F r f t
=
(, )
( ) ( ), Bs Ff ).
= B s B
( ) (
Случайные поля, имеющие корреляционную функцию приведенного
вида, иногда называют спектрально «чистыми» полями. Вообще говоря,
второе приведенное условие слабее, чем первое.
6
где (, )Gk имеет смысл спектра мощности пространственно-временного
kk G
∗
,
с помощью (2), из требования однородности и стационарности слу
′′=− −
) (, )
k
(
)
(k
k ) ,
(3)
∞∞
(2)
τ
ω
ω
εω
εω
ω ω
εω
εω
ω
εω
εω
τ
ω
τω
τ
ωτ
ω
ω
ω
π
δωωδ
τ
ττ
τ
ωτ
Стр.6
«замороженными» неоднородностями, когда напряженность электрического
поля (, ) (
В этом случае корреляционная функция поля, очевидно, равна
B(s, ) (s )Bv
=−
тропные случайные поля. Структурная функция случайного поля (, )Er t
определяется следующим образом:
Dr r1 22 22 1
(,t , , t
1
т.е.
(, )
E rt Ert E rt=−<
=−
) | ( , t
E r E r
) (,t ) |
1
2
,
представляет собой дисперсию приращений
E (, )rt
,
полностью взаимосвязаны между собой.
Структурная функция. Локально однородные и локально изо(5)
где
(
, ) (, ) > – центрированное случайное поле. Она позволяет
исключить из рассмотрения регулярные и крупномасштабные неоднородности
поля.
совпадающие моменты времени 12
Dr r E r E r=−
(, ) | ( )
21
2
( 21 2 1
( ) |
2
.
D , )( )(s) . В случае 21 21() (|
rr D r r D=− =
D rr D r
Случайное поле
Рассмотрим зависимость функции от пространственных координат в
tt t== . Опуская для удобства записи зависимость
от t и считая для простоты, что () 0Er
2
<>=
называется
|)
, имеем
локально однородным,
−= r D− =
если
(s) поле называется
локально изотропным. Понятия локальной однородности и локальной
изотропности поля для структурной функции аналогичны понятиям
однородности и изотропности поля для корреляционной функции.
Когерентность. Полностью и частично когерентные поля. В оптике
с коррелированностью случайных полей связывают понятие когерентности.
Определим нормированную корреляционную функцию следующим
образом
где<>=It (r, r, , )B t t
полей
(r, )
Величина
(r , r , , 1) = ,
[(r ,<>< (r ,
21 2
tt Bt t
It I t
11 2 2
(r , r , , )
21 2
)
(r , r , =− = .
II(r )
21 2 1tt )
[(r )
<>< >
12
(r , r , )
B 21
]
12
скольку корреляционная функция в общем случае комплексна. Абсолютную
величину
7
называется комплексной степенью когерентности, поназывают
модулем степени когерентности или просто степенью
1
) >]
12
(6)
– средняя интенсивность поля. Для стационарных
Кроме того, существует специальный вид полей с так называемыми
)
Er t E r vt=−
‚ где v
– скорость перемещения неоднородностей.
, т. е. пространственные и временные корреляции поля
ττ
τ
γ
γτ
γ
γ
Стр.7
когерентности. Нетрудно убедиться, что, как и коэффициент корреляции,
степень когерентности удовлетворяет неравенству 21 2
|(r , r , ,tt1) | 1. Модуль
при
=
– значение степени временной когерентности.
Определенное значение степени когерентности ||
0
rr
12
является локальной
характеристикой поля для заданных точек пространства с координатами
1r
и 2r
. Поля с 21 2
ются полностью когерентными. Если 21 2
|(r , r , ,tt1) | 1 для любых значений аргументов называ
=
|(r , r , ,tt1) | 0, то значения полей в
=
разных пространственно-временных точках становятся некоррелированными,
а для гауссовских полей и статистически независимыми. Такие поля называются
некогерентными. Промежуточные значения соответствуют частично
(или не полностью) когерентным полям.
Двумерное изотропное случайное поле. Случайная волна. Для радиофизики
и оптики первоочередной интерес представляет специальный
вид случайных полей – случайные волны.
Общие формулы, записанные выше для случайных полей, мы конкретизируем
для случайных волн. Рассмотрение начнем с волны, близкой к регулярной
плоской монохроматической волне
Er z t=−i t k z)].
( , , ) A(r)exp[ ( 00
(7)
разом зависит только от радиуса-вектора r
, лежащего в плоскости, перOz
; будем считать, что комплексная амплитуда волны ()A r
случайным обСоотношение
(7) описывает волну, распространяющуюся вдоль оси
пендикулярной осиOz . Волну типа (7) можно рассматривать как «искаженную»
плоскую волну. Поле вида (7) возникает, если идеальную плоскую
монохроматическую волну пропустить через безграничный плоский экран,
прозрачность и фазовый набег в котором случайным образом меняются от
точки к точке.
странственной корреляционной функцией комплексной огибающей
*
B (r r) A(r)A (r ) >. Соотношения справедливые для величин, свя⊥
−=<21 1
Рассматриваемую волну можно характеризовать поперечной про
2
занных
преобразованием Фурье, позволяют установить связь между характерным
масштабом изменения пространственной корреляционной функции
- радиусом корреляции kr и эффективной шириной k∆ волнового (углового)
спектра изотропного случайного поля, аналогичное временному случаю:
krk 1
∆⋅ .
Световые пучки. Поперечная и продольная корреляция. Волна
вида (7) со статистически однородной комплексной амплитудой является
идеализированной моделью. Более реальная модель ограниченного в пространстве
светового пучка описывается следующим соотношением
−
E r zt r z t=− =
(, 00, ) A( , , )exp[ (i t k z)] (, , )exp[ (
8
r zt i t k z r z t
+ ( , , ))]. (9)
≤
= дает значение степени пространственной когерентности, а при
(8)
γ
γ
γ
γ
γ
τ
ω
ϕ
ω
ρ
ω
Стр.8