1
Министерство образования Российской федерации
Воронежский государственный университет
конспекты лекций вопросы и задачи
Дифференциальные уравнения
часть 2
Задача Коши
пособие для студентов специальности 02.03.01
Воронеж
2015
Стр.1
3
Оглавление
2. ЗАДАЧА КОШИ .......................................................................................................................................................... 5
2.1. ТЕОРЕМА КОШИ–ПИКАРА ............................................................................................................. 5
2.1.1. Постановка задачи .............................................................................................................. 5
2.1.2. Пример отсутствия локальной разрешимости. .............................................................. 6
2.1.3. Пример отсутствия глобальной разрешимости. ............................................................ 6
2.1.4. Пример отсутствия единственности. ............................................................................. 7
2.1.5. Замечание (о нормах в пространстве n ). ..................................................................... 7
2.1.6. Условие Липшица и геометрическая интерпретация его в одномерном
пространстве............................................................................................................................... 10
2.1.7. Утверждение о дифференцируемости, условии Липшица и непрерывности. ............ 12
2.1.8. Формулировка теоремы Коши-Пикара в полосе. ........................................................... 12
2.1.9. Замечание о непрерывности f по совокупности переменных. ................................... 13
2.1.10. Лемма об эквивалентном интегральном уравнении.: .................................................. 13
2.1.11. Определение последовательных приближений. ............................................................ 14
2.1.12. Лемма о сближении. ........................................................................................................ 15
2.1.13. Лемма о сходимости.. ..................................................................................................... 16
2.1.14. О непрерывности функции t
. ................................................................................. 17
2.1.15. Лемма об оценке погрешности n-го приближения ...................................................... 17
2.1.16. Лемма о существовании. ................................................................................................ 18
2.1.17. Лемма о единственности ............................................................................................... 18
2.1.18. Теорема Коши-Пикара в полосе с переменным коэффициентом Липшица .............. 18
2.1.19. Локальная теорема Коши–Пикара ................................................................................ 19
2.1.20. Теорема Коши–Пикара для уравнения n –го порядка .................................................. 19
2.1.21. Формулировка теоремы Пеано ...................................................................................... 20
2.1.22. Овеществление комплексных ОДУ и теорема Коши–Пикара для комплексной
нормальной системы. .................................................................................................................. 21
2.1.23. Комплексификация. ......................................................................................................... 22
2.2. ОПЕРАТОР СДВИГА ...................................................................................................................... 22
2.2.1. Определение оператора сдвига. ....................................................................................... 22
2.2.2. Простейшие свойства оператора сдвига. ...................................................................... 23
Стр.3
6
2.1.2. Пример отсутствия локальной разрешимости.
Утверждение. Задача
xx
– sign ,2
x 00
1
не имеет решения ни на каком промежутке J .
Доказательство. Предположим противное: пусть
tJ
0
ность нуля. Поскольку 0 sign 0 , можно выбрать эту по22
при таких t
11
0 0
луокрестность так, чтобы на ней при t 0 было 0t . Из (1) получается, что
111 22t
, т. е. функция убывает. Мы получили противоречие:
положительная функция, имевшая в нуле нулевое значение, при t 0 строго
убывает и в то же время положительная.
Причиной выявленной "неприятности" является разрывность правой части уравнения
(1) в точке x = 0.
2.1.3. Пример отсутствия глобальной разрешимости.
Рассмотрим следующее уравнение, для которого легко найдём общее решение
xx
2
x
2 1
dx
dt
t C
x 22,
t C
tg
, –
t C
(4)
1
по теореме об УРП
,
C, –22
arctg x t
Подчеркнем, что из полученного вида решения следует, в частности, что вопрос о
разрешимости задачи (3), (2), скажем, на промежутке J имеет отрицательный
ответ, так как область определения любого решения не выходит за рамки интервала
22,CC .
т.к. x
2
1 0
(3)
(1)
(2)
xt – решение задачи
(1)–(2) на некотором промежутке J . Точка может быть граничной
точкой J , но, по определению, не может быть единственной точкой промежутка.
Допустим для определенности, что J содержит некоторую правую полуокрест
Стр.6
7
Этот эффект связан с тем, что правая часть 2 1
тет "слишком быстро" по сравнению с x .
xx
,
x уравнения (3) при x рас2.1.4.
Пример отсутствия единственности.
Таким примером может служить уравнение
2
правая часть которого определена при x 0 . У задачи
Коши, соответствующей начальному условию (2), помимо
нулевого имеется бесконечно много решений
x
0 приtC ,
2
t C t C
при .
Причина неединственности – в том, что правая часть этого уравнения в точке
x 0 имеет бесконечную производную по x .
2.1.5. Замечание (о нормах в пространстве n ).
Для удобства дальнейшего изложения нам необходимо познакомиться с
обобщением понятия расстояния в конечномерном пространстве в виде нормы и
изучить некоторые её свойства.
Определение. Нормой в линейном пространстве L называют функционал
, определённый на всём пространстве и удовлетворяющий для всех , x y L и
следующим аксиомам:
1.
2. xx
а) в n :
1В)
2В)
б) в
x 0 для всех xL
;
3. x y x y
Примеры норм.
x x x x ;
x m 12 .
1 2
0, , n
T
чениями в n :
ax ,
, , , nn
x x , ,
x x
x n
– пространстве непрерывных на отрезке 0, T функций со зна2
2
1 2
x
2
и xx θ
0
, где θ – ноль пространства L;
(неравенство треугольника).
Стр.7
8
1С)
x max
tT0,
x t
1М) A
jn
max,
n
j
j
a
a
1,
2М)
Aa
1,
1,
sup
max ijin
jn
3М) A Ab
b 1
,
anj
n – норма матрицы, инициированная нормой вектора.
Задача. Проверить, что нормы, приведённые в примерах, удовлетворяют
аксиомам 1–3.
Определение. Последовательность k
, если lim .
норме к xL
k
xx 0
k
Определение. Две нормы 1 и 2 одного и того же линейного пространства
называются эквивалентными, если для них существуют две положительные
константы
Mm 0 и такие, что m x x M x 1.
1
2
Из определения следует одновременная сходимость по эквивалентным нормам
в том смысле, что 12lim x x , и свойство ограниkk
0
kk
0 lim x x
ченности в эквивалентных нормах сохраняется. Эквивалентность норм обладает
кроме того свойством транзитивности.
Следующее простое свойство будет нам полезным в доказательстве утверждения
об эквивалентности норм.
Свойство нормы (обратное неравенство треугольника).
x y x y .
xL
называется сходящейся по
1
2
n
, где
n – любая норма в n .
в) в пространстве всех квадратных матриц размером
тельных чисел:
nn, состоящих из действи
Стр.8