МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ТЕОРИИ
ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Учебно-методическое пособие
Составители:
А. Д. Баев,
М.Ш. Бурлуцкая,
М.Б. Давыдова
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2015
1
Стр.1
ВВЕДЕНИЕ
В настоящем учебно-методическом издании содержится теория преобразования
Фурье и обобщенных функций.
Преобразование Фурье является мощным средством как для теоретического
исследования многих вопросов, встречающихся в различных разделах
математики, так и для решения многих практических задач.
Теория обобщенных функций находит многочисленные приложения
при исследовании уравнений с частными производными, занимает значительное
место в арсенале современных математических методов, применяемых
не только специалистами-математиками, но также физиками и инженерами.
Достаточно сказать, что она позволяет строго определить понятие
разрывных решений дифференциальных уравнений, которые часто
встречаются в практических задачах.
В следующем методическом издании авторами планируется рассмотрение
свойств псевдодифференциальных операторов.
3
Стр.3
f ()
что
+∞
−∞
∫ −→ при v→∞.
fx g x dx
() ()
+∞
−∞
−
0
ти такую ступенчатую функцию ( )gx , что
() ()
ствуют такие ba
a
Так как интеграл от ( )
> , что
−+ <∫∫ .
−∞
силу
i
fx dx fx dx
b
()
Так как функция ( )
критерия
=< a b
( )
01
ax a
ay a
ii
<<
<<
sup
ii
k
+
+
1
1
=− .
Чтобы построить ступенчатую функцию ( )gx , для которой выполняf
xf y( )
ется (1.1.9), теперь достаточно положить ( ) 0gx = вне [ab, ] и ( )gx ( )e
∈ (
= f
при x aa+1)ll,
Таким образом, последовательность gx ступенчатых функций,
, где e – некоторая фиксированная точка из (aa+1)ll,
v ( )
gf f x−≤ − g
% () ()
vv следует, что последователь%
+∞
−∞
∫
()
() ,dx
x
ность g
%
равномерно сходящихся последовательностей получаем утверждение леммы
для любой абсолютно интегрируемой функции ( )
v ( ) равномерно сходится к ( ). Следовательно, в силу свойств
f x .
f%
Замечание. Аналогичным образом определяется преобразование Фурье
для функций, интегрируемых на всей оси −∞< < +∞ по Лебегу, если
x
интегралы в соответствующих формулах понимать в смысле теории интегрирования
Лебега. В таком случае существование последовательности сту6
удовлетворяющих
соотношению (1.1.8), построена. Заметим теперь, что из
оценки
.
()
2
f x интегрируема по Риману на отрезке [ab, ], то в
интегрируемости
aa a <...< = отрезка [ab, ], что ∑ Δ < , где Δ= + − ,aai
2
существует
k−
i=
1
0
ii
разбиение
ii 1
такое
+∞
Действительно, достаточно показать, что для любого
∫ fx g x dx <
.
x
(1.1.8)
> 0 можно най(1.1.9)
f
x по всей оси −∞< < +∞ сходится, то сущеx
можно найти такую последовательность gx ступенчатых функций,
Покажем теперь, что для любой абсолютно интегрируемой функции
v ( )
ε
ε
ν
ξ
ε
ω
ε
ξ
ω
ξξ
ξ
ξ
Стр.6
пенчатых функций ( )v
gx , обладающей свойством (1.1.8), непосредственно
вытекает из теории интеграла Лебега.
1.1.2. Преобразование Фурье производной
при всех (, )
Фурье функции
Пусть абсолютно интегрируемая функция
f x′
1 d f x
idx
f ( )x имеет производную
ма. В этом случае преобразование Фурье функции ( )
()
⎛⎞ =
idx
⎜⎟
⎝⎠
1 d fx
⎛⎞ == =
i dx
⎝⎠ ∫∫ ∫
%
⎜⎟ e fx dx
idx
ix
−∞
Так как de
11 1
()
dd ef x
f x
+∞
+∞
−ix
−− −ix
i −∞
e dfx
ix
()
i
( ) +∞ 1
−∞
−
i −∞
fx de
()
x
x→±∞. Поскольку справедливо равенство () ( )=+′∫
f xf s ds
0
f (0) ,
то в силу предположения об абсолютной интегрируемости функции ( )
функция ( )
f x′
f x имеет пределы при x→+∞ и x→−∞. Легко видеть, что
если хотя бы один из этих пределов отличен от нуля, то функция ( )
может быть абсолютно интегрируемой, следовательно, fx ( ) 0→ при
f x не
x→±∞. Тем самым формула (1.1.10) доказана.
Формула (1.1.10) показывает, что при преобразовании Фурье операция
дифференцирования переходит в алгебраическую операцию – умножение
на i
функции ( ). Это открывает широкие возможности для примеf%
нения
преобразования Фурье при исследовании дифференциальных операторов.
1.1.3.
Связь между убыванием функции ( )
ее преобразования Фурье
тегрируемой функции ( )
f x и гладкостью
Выше было показано, что преобразование Фурье ( ) абсолютно инf
x является ограниченной непрерывной функциf%
ей,
стремящейся к нулю при →∞. Формальное дифференцирование по
7
%% .
f ( )
x∈−∞ +∞ , причем ( ) непрерывна и абсолютно интегрируеf
x и преобразование
связаны между собой соотношением
() ( )
+∞
(1.1.10)
Докажем это. С помощью интегрирования по частям получаем, что
() ( )
.
ix =−i e dx , то остается показать, что fx ( ) 0→ при
−−ix
ξξ
ξ
ξξ
ξ
ξ
ξ
ξξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
Стр.7
переменной
+∞
к интегралу − ∫ie xf
−∞
интеграла (1.1.3), определяющего функцию ( ), приводит
−ix ()
f%
x dx.
Предположим, что функция ( )
интеграл, зависящий от параметра
f%
df%
xfx абсолютно интегрируема, тогда этот
, равномерно сходится. Применяя теорему
о дифференцировании по параметру несобственных интегралов, получим,
что функция ( )
имеет производную и справедливо равенство
( )
+∞
d
разование Фурье функции ()x f x
i
⎛⎞ =
⎜⎟
⎝⎠
x fx
id
% % () ( )
=− ∫ie xf x dx .
−∞
−ix ()
Заметим, что правая часть этого равенства представляет собой преоб.
Таким образом, получаем формулу
df% ( )x
,
сле преобразования Фурье в операцию дифференцирования d
d
функцией
xfx x
( ),..., m
абсолютно интегрируемыми являются и функции
f x , то интеграл в (1.1.3) можно будет дифференцировать m раз.
f ( )x
( )
Таким образом, чем более сильные условия убывания на бесконечности мы накладываем
на функцию ( )
f x , тем более гладкой получается функция ( ).
f%
1.1.4. Формула обращения преобразования Фурье
но можем найти функцию ( ). В этом случае возникает задача обращения
преобразования Фурье, то есть задача о вычислении функции ( )
f%
Часто возникает такая ситуация, что мы не знаем самой функции ( )
f%
f x в точке
x по известной функции ( ). Следующая теорема дает решение этой задачи
при дополнительном предположении о существовании производной
функции ( )
f x в точке x .
производная ( ) , то
Теорема 1. Если функция ()f x абсолютно интегрируема и существует
f x′
8
f x ,
(1.1.11)
которая показывает, что операция умножения на выражение x
i переходит по.
Если вместе с
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
Стр.8