МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ А. В. Звягин О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ, ОПИСЫВАЮЩЕЙ ДВИЖЕНИЕ РАСТВОРОВ ПОЛИМЕРОВ Учебно–методическое пособие Воронеж Издательский дом ВГУ 2015 Утверждено научно–методическим советом математического факультета Воронежского государственного университета 31 марта 2015 г., протокол № 0500-03. <...> Задача оптимального управления для эволюционной математической модели . <...> При этом основным объектом исследования для математиков являлись, как правило, краевые и начально-краевые задачи для системы уравнений Навье–Стокса. <...> В настоящем пособие рассматриваются начально–краевые задачи для моделей с реологическим соотношением, удовлетворяющим принципу объективности. <...> Отсюда следует, что если известны скорость движущейся жидкости в каждой точке x ∈ Ω в каждый момент времени t, то есть известна 7 Введение вектор-функция v(t,x), определённая для всех x ∈ Ω и t ∈ [t0,T], то, для того чтобы найти вектор-функцию x(t), описывающую движение частицы жидкости, занимающей в начальный момент t0 положение x0, надо решить следующую задачу Коши для векторного дифференциального уравнения: dx(t) dt = v(t,x(t)), t0 t T, x ∈ Ω, x(t0) = x0. <...> 1) Сила инерции представляет собой произведение массы на ускорение. <...> Ускорение dv dt определяет не изменение скорости жидкости в данной неподвижной точке пространства, а изменение скорости определенной передвигающейся в пространстве частицы жидкости. <...> Изменение dv скорости данной частицы жидкости в течение времени dt складывается из двух частей: изменения скорости в данной точке пространства в течение времени dt и из разности скоростей в двух точках, разделенных расстоянием dx, пройденным рассматриваемой частицей жидкости в течение времени dt. <...> [2]), связывающей поверхностный интеграл и интеграл по объему, выполнено равенство <...>
_О_математической_модели,_описывающей_движение_растворов_полимеров.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
А. В. Звягин
О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ,
ОПИСЫВАЮЩЕЙ ДВИЖЕНИЕ
РАСТВОРОВ ПОЛИМЕРОВ
Учебно–методическое пособие
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2015
Стр.1
Оглавление
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Глава 1. Существование слабых решений эволюционной
математической модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2. Аппроксимационная задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3. Априорная оценка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4. Существование решений аппроксимационной задачи . . . . 35
1.5. Доказательство теоремы 1.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Глава 2. Задача оптимального управления для эволюционной
математической модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2. Аппроксимационная задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3. Априорная оценка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4. Существование решений аппроксимационной задачи . . . . 49
2.5. Доказательство теорем 2.1.1 и 2.1.2 . . . . . . . . . . . . . . 50
Глава 3. Аттракторы для математической модели . . . . . . 55
3.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2. Аппроксимационная задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3. Априорные оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4. Существование решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.5. Доказательство теорем 3.1.6 и 3.1.7 . . . . . . . . . . . . . . 86
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3
Стр.3
Введение
Пусть Ω — ограниченная область в Rn, n = 2, 3, с границей
Γ. Назовем Ω областью класса C2, если граница Γ является C2подмногообразием.
Это значит, что для каждой точки границы найдутся
окрестность U и евклидова система координат O, y1, y2, . . . , yn
такие, что Γ ∩ U допускает представление в виде поверхности yn =
ϕ(y1, y2, . . . , yn−1), где ϕ—функция класса C2. Аналогично назовем область
Ω локально-липшицевой, если функции ϕ липшицевы. Примерами
локально-липшицевых областей могут служить круг, плоское круговое
кольцо.
Пусть Ω ⊆ R3 — ограниченный сосуд с границей Γ = ∂Ω, целиком
заполненный некоторой средой, которую в дальнейшем будем называть
жидкостью. Жидкость будем представлять как совокупность материальных
частиц, заполняющих сосуд Ω, причём эти частицы будем считать
настолько малыми, что их можно отождествлять с точками объёма
Ω .
T
x2
Ω
E
x3
Рис. 1
6
x1
Стр.6
Введение
Стоит заметить, что в гидродинамике жидкость рассматривается
как сплошная среда. Это значит, что всякий малый элемент объема
жидкости считается все-таки настолько большим, что содержит еще
очень большое число молекул. Поэтому, когда говорится о смещении
некоторой частицы жидкости, то при этом речь идет не о смещении
отдельной молекулы, а о смещении целого элемента объема, содержащего
много молекул, но рассматриваемого в гидродинамике как точка
(см. [13]).
Под движением жидкости мы будем понимать движение материальных
точек объёма Ω. Таким образом, описать путь, который проходит
каждая точка объёма Ω за время t0 t T, это и означает описать
движение жидкости за это время. Пусть в трёхмерном пространстве
зафиксирована ортогональная система координат и e1, e2, e3 — векторы
соответствующего базиса. Сосуд с жидкостью Ω будем рассматривать
как область в трёхмерном пространстве, а положение движущейся
точки объёма Ω (или, что то же, частицы жидкости) можно описать с
помощью вектор-функции
x(t) = x1(t)e1 +x2(t)e2 +x3(t)e3.
Если в начальный момент времени t0 частица жидкости занимала
положение x0, а её движение описывается с помощью закона x(t), то
x(t0) = x0.
Каждой частице объёма Ω соответствует своя вектор-функция x(t),
описывающая её движение. Таким образом, движение жидкости будет
описано, если будут найдены все эти вектор-функции x(t). Зафиксируем
момент времени t. В этот момент времени частица жидкости, двигающаяся
по закону x(t), имеет скорость
x˙ (t) = ˙x1(t)e1 + ˙x2(t)e2 + ˙x3(t)e3.
Обозначим через v(t,x) — скорость частицы жидкости, находящейся в
момент времени t в точке x. Тогда
x˙ (t) = v(t,x(t)).
Отсюда следует, что если известны скорость движущейся жидкости
в каждой точке x ∈ Ω в каждый момент времени t, то есть известна
7
Стр.7
Введение
вектор-функция v(t,x), определённая для всех x ∈ Ω и t ∈ [t0,T], то,
для того чтобы найти вектор-функцию x(t), описывающую движение
частицы жидкости, занимающей в начальный момент t0 положение x0,
надо решить следующую задачу Коши для векторного дифференциального
уравнения:
dx(t)
dt = v(t,x(t)), t0 t T, x ∈ Ω,
x(t0) = x0.
Таким образом, для того, чтобы описать движение жидкости, достаточно
знать распределение скоростей жидкости в каждой точке x ∈ Ω в
каждый момент времени t ∈ [t0,T] или, что то же самое, знать векторфункцию
v(t,x).
Рассмотрим силы, действующие на каждую частицу жидкости.
1) Сила инерции представляет собой произведение массы на ускорение.
Ускорение dv
dt определяет не изменение скорости жидкости в
данной неподвижной точке пространства, а изменение скорости определенной
передвигающейся в пространстве частицы жидкости. Изменение
dv скорости данной частицы жидкости в течение времени dt
складывается из двух частей: изменения скорости в данной точке пространства
в течение времени dt и из разности скоростей в двух точках,
разделенных расстоянием dx, пройденным рассматриваемой частицей
жидкости в течение времени dt. Первая часть это ∂v
∂t dt, а вторая
dx1
∂v
∂x1
+dx2
∂v
∂x2
или же dv
dt = ∂v
∂t + ∂v
vi
+dx3
3
циональной производной.
Далее рассмотрим некоторый объем V пространства. Масса жидρ
dV , где ρ(t,x) — плотность жидкости, а
i=1
кости в этом объеме это
V
интегрирование производится по объему V . Если рассматривать единицу
объема, то можно сказать, что она имеет массу ρ. Таким образом,
силу инерции выбранной частицы жидкости можно представить в виде
8
∂v
∂x3
= dxi
i=1
3
∂xi
∂v
∂xi
. Тогда dv = ∂v
∂t dt+
dxi
i=1
3
∂v
∂xi
. Такая производная называется субстан
Стр.8