МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.В. Копытин, А.С. Корнев ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ УГЛОВЫХ МОМЕНТОВ Часть 2 Учебное пособие для вузов Воронеж Издательский дом ВГУ 2015 Утверждено научно-методическим советом физического факультета 2 сентября 2015 г., протокол № 9 Рецензент д-р физ.-мат. наук С.Д. Кургалин Учебное пособие подготовлено на кафедре теоретической физики физического факультета Воронежского государственного университета Рекомендуется для студентов бакалавриата, обучающихся на физическом факультете Воронежского государственного университета Для направлений: 011200 — Физика, 140800 — Ядерные физика и технологии 2 Оглавление Введение Глава 1. <...> Двухэлектронные волновые функции в представлении SMSLML . <...> . . . . . . . . . . . . . 64 4 Введение Алгебра угловых моментов представляет собой математический аппарат теоретической физики, используемый для аналитического описания спин-угловых зависимостей вероятностей процессов с участием атомных и ядерных частиц. <...> Настоящее пособие рассчитано на один семестр и требует знания математики в объеме университетского курса для физических специальностей, а также основ квантовой теории, включая движение в центральном поле и теорию представлений. <...> Главный акцент сделан на практическое применение основных соотношений алгебры угловых моментов. <...> Часть 1 содержала первоначальные сведения о квантовой теории углового момента. <...> Читатель знакомился с векторной моделью сложения моментов, неприводимыми тензорными операторами, а также законами преобразования волновых функций и операторов, действующих в пространстве угловых и спиновых переменных, при поворотах системы координат. <...> Центральным пунктом части 1 являлась теорема Вигнера – Эккарта — важнейшая теорема алгебры угловых моментов. <...> В первой главе читатель знакомится с основными <...>
Введение_в_алгебру_угловых_моментов._Ч._2.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
И.В. Копытин, А.С. Корнев
ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ
УГЛОВЫХ МОМЕНТОВ
Часть 2
Учебное пособие для вузов
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2015
Стр.1
Оглавление
Введение
Глава 1. Параметризация матриц конечных вращений
5
7
1.1. D-функция Вигнера . .... ..... .... .... .... 7
1.1.1. Определение D-функции ... .... .... .... 7
1.1.2. Свойства D-функции ..... .... .... .... 8
1.1.3. Интегрирование произведений D-функций . . . . 12
1.1.4. Обобщенная сферическая функция . . . . . . . . . 14
1.2. Другие представления МКВ ..... .... .... .... 15
1.2.1. МКВ в (ω,n)-представлении (U-функция) . . . . 16
1.2.2. «Инвариантное» представление МКВ . . . . . . . 17
Глава 2. Вычисление приведенных матричных элементов 22
2.1. Простейшие приведенные матричные элементы . . . . . . 23
2.2. Матричные элементы произведений операторов . . . . . 24
2.2.1. Простая физическая система .... .... .... 25
2.2.2. Составная физическая система . . . . . . . . . . . 28
Глава 3. Парциальные и мультипольные разложения
32
3.1. Биполярные и триполярные гармоники . . . . . . . . . . 32
3.2. Шаровые тензоры .. .... ..... .... .... .... 36
3.2.1. Шаровые спиноры . ..... .... .... .... 36
3.2.2. Шаровые векторы .. ..... .... .... .... 37
3.3. Разложения наиболее важных функций . . . . . . . . . . 39
Глава 4. Вращательное движение в квантовой теории 47
4.1. Волновые функции вращательного движения . . . . . . . 47
4.2. Вращение твердого тела .. ..... .... .... .... 52
Глава 5. Многоэлектронные конфигурации
54
5.1. Приближение центрального поля . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2. Двухэлектронные волновые функции в представлении
SMSLML ... .... .... ..... .... .... .... 55
5.3. Генеалогическая схема ... ..... .... .... .... 57
3
Стр.3
бами параметризации матриц конечных вращений (здесь же приведены
полезные в приложениях формулы интегрирования произведений
сферических функций). Вторая глава посвящена общим принципам
вычисления приведенных матричных элементов на основе соотношений,
полученных в первой части настоящего пособия. В третьей главе
излагаются методы парциальных разложений волновых функций, не
являющихся собственными функциями оператора углового момента,
и операторов, не имеющих структуры сферического тензора. В четвертой
главе дается квантовое описание вращательного движения молекул
и ядер. Пятая глава знакомит читателя с методами описания
систем тождественных частиц, находящихся в центральном поле.
Поясним некоторые наиболее часто встречающиеся в данном пособии
обозначения.
Оператор набла ∇ определяется следующим образом:
∇n = n ∂
∂n,
где n — единичный вектор в заданном направлении; в этом же направлении
вычисляется и производная. В декартовых координатах
∇= ex
∂x +ey
∂
∂y +ez
∂
– градиент: gradf(r) ≡∇f(r);
– дивергенция: divA(r) ≡ (∇·A(r));
– ротор: rotA(r) ≡ [∇×A(r)];
– лапласиан: ∇2f(r) ≡ div gradf(r);
∂z .
∂
С помощью оператора ∇ и операций векторной алгебры можно выразить
основные операции векторного анализа:
Используются стандартные обозначения, введенные в ч. 1 для 3j-,
6j-, 9j- и 3jm-символов, коэффициентов Клебша – Гордана CJM
и Рак´
∇2A(r) = ex∇2Ax(r)+ey∇2Ay(r)+ez∇2Az(r).
а W(abcd; ef), а также
Πab... =(2a+1)(2b+1) ... .
ℏ = me = e = 1.
(В единицах СИ
ℏ = 1.055 · 10−34 Дж· с; me = 9.11 · 10−31 кг; e = 1.602 · 10−19 Кл).
В пособии всюду используется атомная система единиц:
j1m1 j2m2
6
Стр.6
Глава 1.
Параметризация матриц конечных
вращений
Явный вид матриц конечных вращений (МКВ), введенных в разделе
1.3 ч. 1, полностью определяется способом параметризации поворота
системы координат. В данной главе рассмотрены наиболее распространенные
способы такой параметризации.
1.1. D-функция Вигнера
1.1.1. Определение D-функции
Наиболее распространенным способом параметризации вращения
системы координат является использование углов Эйлера (ϕ, θ,χ), которое
приводит к наиболее компактным аналитическим выражениям
для МКВ. Рассмотрим данный способ подробно. Обозначим декартовы
оси «исходной» системы координат как (x,y,z), а «повернутой» — как
(x′, y′, z′). Их общий центр— O. Переход от системы Oxyz к Ox′y′z′ осуществляется
в результате трех последовательных действий (рис. 1.1).
1. Вращение системы координат против часовой стрелки вокруг оси
Oz на угол 0 ϕ < 2π. При этом ось Ox переходит в Ox′′, а Oy — в
так называемую узловую линию ON.
2. Вращение против часовой стрелки вокруг узловой линии на угол
0 θ π. Ось Ox′′ при этом переходит в Ox′′′, а Oz — в Oz′.
3. Вращение против часовой стрелки вокруг оси Oz′ на угол
0 χ < 2π. В результате ось Ox′′′ и узловая линия ON занимают
соответственно положения Ox′ и Oy′.
В указанных интервалах своего изменения углы Эйлера однозначно
характеризуют любое вращение.
D-функция Вигнера определяется как матрица конечных вращений
в углах Эйлера. На основании формулы (1.85) ч. 1 запишем это определение
более строго:
D(j)
где
m′m(ϕ, θ,χ) = R(j)
m′m(ϕ, θ,χ) = jm′| ˆ
R(ϕ, θ,χ) = exp(−iχ ˆ ) exp(−i θ ˆ
ˆ
Jz′
7
R(ϕ, θ,χ) |jm ,
JN) exp(−iϕ ˆ
(1.1)
Jz).
(1.2)
Стр.7
Рис. 1.1
1.1.2. Свойства D-функции
Как частный случай матрицы конечных вращений D-функция обладает
всеми общими ее свойствами (см. (1.86), (1.87), (1.89), (1.91),
(1.92), (1.95), (1.96) и (2.31)–(2.40) ч. 1). Здесь мы рассмотрим специфические
свойства D-функции.
Факторизация
Прежде всего преобразуем выражение (1.2), поскольку оно содержит
проекции момента в обеих системах координат и поэтому неудобно
для практического использования.
Теорема. Вращение ˆ
вращениям на угол χ вокруг Oz, затем на θ вокруг Oy и, наконец,
на ϕ опять же вокруг оси Oz в «исходной» системе координат.
Доказательство. Этот неожиданный результат есть следствие унитарности
вращения. Оператор любой физической величины при поворотах
системы координат преобразуется по правилу (1.76) ч. 1. Таким
образом, exp(−i θ ˆ
exp(−i θ ˆ
линию ON. Отсюда
exp(−i θ ˆ
Jy) при повороте exp(−iϕ ˆ
JN) = exp(−iϕ ˆ
JN) есть результат унитарного преобразования
Jz), переводящем ось Oy в узловую
Jz) exp(−i θ ˆ
8
Jy) exp(iϕJz).
ˆ
(1.3)
R(ϕ, θ,χ) эквивалентно последовательным
Стр.8