Задачи по электродинамике. Ч. 1 (220,00 руб.)

Стр.1

Стр.3

Стр.6

Стр.7

Стр.8

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ¾ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ¿ Ñ. È. Ìàðìî, Ì. Â. Фролов ЗАДАЧИ ПО ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ Часть I Учебное пособие для вузов Воронеж Издательский дом ВГУ 2014

Стр.1

Содержание 1. Математические методы электродинамики 2. Постоянное электрическое поле 3. Постоянное магнитное поле Приложение 4 1.1. Векторная алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Векторный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3. Криволинейные координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 24 41 58 1. Основные дифференциальные операции в сферических и ци линдрических координатах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2. Сферические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3. Полиномы Лежандра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Литературы 62 3

Стр.3

Векторы, преобразующиеся по правилу (1.1) при поворотах, могут дво яко вести себя при инверсии системы координат, т.е. при преобразовании вида x′i = −xi, (1.2) где матрица преобразования αij = −δij. Те векторы, компоненты которых, как и xi, меняют знак при инверсии, называются истинными или полярны ми. Векторы, компоненты которых при инверсии координат не изменяют знака, называются псевдовекторами или аксиальными векторами (угловая скорость вращения, векторное произведение [ab] двух полярных векторов и äð.). Задачи для самостоятельного решения 1.1. Вычислить: à) векторное произведение [ab]; á) смешанное ïðîèç ведение (a[ba]); â) угол между a и b, если a = i−k, b = i+k. 1.2. Найти единичный вектор, направленный вдоль вектора a1+a2, где a1 = 2i+3j−4k, a2 = i+3j+2k. 1.3. Найти проекцию вектора a = i−2j+k на вектор b = 4i−4j+7k. 1.4. Доказать равенство (ab)2 +[ab]2 = a2b2. 1.5. Какому условию должны удовлетворять векторы a и b, чтобы век торы a−b и a+b были à) ортогональны; á) коллинеарны? 1.6. Даны векторы a = 3i + 4j + 6k, b = −6i − 4j + 2k, c = i − 2j − k. Определить, какие из них взаимно перпендикулярны, а какие параллельны или антипараллельны. 1.7. Найти единичный âåêòîð, перпендикулярный векторам A = 2i + j и B = i−j+k. 1.8. Известны векторыAи B. Представить векторAв виде суммы двух векторов: A∥ параллельного и A⊥ перпендикулярного к B. 1.2. Векторный анализ Основные дифференциальные операции. Если любой точке про странства (или части пространства) ставится в соответствие некоторая ве личина, то говорят, что в пространстве задано поле этой величины. Если любой точке пространства ставится в соответствие число, то поле называ ется скалярным; если любой точке пространства ставится в соответствие вектор, то поле называется векторным. С формальной точки зрения поле есть функция точки. Пусть задано скалярное поле: f = f(r). Если в пространстве выбрана некоторая декар това система координат, то можем íàïèñàòü: f = f(x, y, z). Возьмем в ïðî странстве некоторую точку M. Из нее можно выходить по всевозможным 6

Стр.6

направлениям. Выберем некоторое направление l (рис. 1). Производной f по направлению l называется скорость изменения поля в данном направле нии: df dl = lim N→M f(N)−f(M) MN . t M N Ðèñ. 1 На заданном направлении l координаты x, y, z являются функциями рас стояния l, f = f(x(l), y(l), z(l)), поэтому f можно продифференцировать как сложную функцию: df dl = ∂f df dl = (∂f ∂xi+ ∂f ∂x dx dl + ∂f ∂y j+ ∂f ∂zk ∂y dy dl + ∂f ∂z dz dl . Представим последнее выражение как скалярное произведение двух векто ров: )(dx dl i+ dy grad f = ∂f ∂xi+ ∂f dl j+ dz ) dl k Первый вектор здесь называется градиентом поля f: ∂y j+ ∂f ∂zk. Второй вектор dx dl i+ dy dl j+ dz dl k = d(xi+yj+zk) dl df dl = (grad f · τ). = dr dl = τ есть единичный вектор направления l. Таким образом, (1.4) Из последнего выражения следует, что вектор grad f в точке M указы вает в сторону наибыстрейшего возрастания поля f, причем эта наибыст рейшая скорость равна |grad f|. Из этого утверждения, которое составляет 7 . (1.3) l

Стр.7

геометрический смысл градиента, ясно, что градиент инвариантно связан с рассматриваемым полем, т.е. остается неизменным при замене декартовых осей (этого не видно из определения (1.3), данного в неинвариантной форме, ¾привязанной¿ к какой-то системе координат). Итак, градиент скалярного поля образует векторное поле. Если ввести векторный дифференциальный оператор ∇ (¾набла¿) ∇ = i ∂ ∂x +j ∂ ∂y +k ∂ то можно записать (1.3) в виде grad f = ∇f, а (1.4) в виде df dl = (τ ·∇f) = (τ ·∇)f. Рассмотрим частный случай сферически симметричной функции f (т.е. функции, которая зависит только от расстояния r = |r| до начала коорди íàò). Пример 1.1. Ïîêàçàòü, что grad f(r) = df dr r r. (1.6) Решение. Воспользуемся выражением для градиента в д.с.к. (1.3). Вы разим r = |r| через x, y, z (r =√x2 +y2 +z2) и вычислим ∂f ∂x = df Аналогично ∂f ∂y = df dr y r , ∂f ∂z = df dr dr ∂r ∂x = df z r, откуда grad f(r) = df dr r r.  (1.7) Рассмотрим теперь векторное поле a(r) и введем операцию диверген ции. Составим отношение потока поля a через замкнутую поверхность S к объему области, ограниченному этой поверхностью:  a dS V . 8 dr x r . ∂z, или ∇ = ( ∂ ∂x, ∂ ∂y, ∂ ) ∂z , (1.5)

Стр.8