Преобразование дифференциальных выражений с частными производными (220,00 руб.)

Стр.1

Стр.3

Стр.6

Стр.7

Стр.8

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ “ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ” Преобразование дифференциальных выражений с частными производными Учебно-методическое пособие Составители: В. Е. Чернов, С. А. Переселков, М. Г. Холявка Воронеж Издательский дом ВГУ 2015

Стр.1

1 Вводные замечания Частные производные возникают при описании многих физических, химических и биологических процессов, поэтому работа с ними — следующий (после обычного дифференцирования) важный шаг в изучении высшей математики на естественных факультетах. Для функций нескольких переменных сложнее выглядят, например, правила дифференцирования сложной функции, правила нахождения производных обратного отображения и т.д. Опыт показывает, что операции с частными производными, особенно высших порядков, обычно вызывают у студентов трудности, связанные с недостатком времени, уделяемого этой тематике в рамках аудиторных практических занятий. С другой стороны, сложившаяся практика зачастую сводится к формальным расчётам некоторых производных без какой-либо связи с материалом последующих курсов, таких как вариационное исчисление и уравнения математической физики, в которых изучаются уравнения в частных производных. В этих курсах уже предполагается, что студент должен уметь достаточно быстро, например, убеждаться в том, что данная функция нескольких переменных является решением данного уравнения в частных производных или что это уравнение с помощью данной замены переменных приводится к данному виду (или, в частности, остаётся инвариантным по отношению к такой замене). В результате при изучении этих дисциплин внимание студентов распыляется на технические подробности, что препятствует общему усвоению курса математической физики и его приложений к задачам естественных наук. Представляется оправданным перенести овладение этими подробностями на первый курс, когда студенты только начинают знакомство с частными производными. Подстановка функций нескольких переменных в дифференциальные выражения с частными производными, с одной стороны, даёт навыки, необходимые на последующих курсах, а с другой стороны — делает выполнение рутинных вычислений более мотивированным, т.к. цель таких вычислений становится более 3

Стр.3

где A, a, b, m > 0, n > 0 — произвольные константы, удовлетворяет уравнению ∂w ∂t = ax4tn∂2w ∂x2 +btmw. (2.1.2) Решение. В выражении (2.1.1) зависимость от x присутствует только в предэкспоненциальном множителе, поэтому его дифференцирование по x элементарно: ∂w ∂x = A  2a n+1tn+1 − ∂2w ∂x2 = A  x3 exp 1  x2  b m+1tm+1 exp . Тогда правая часть (2.1.2) принимает вид A 2aAxtn + 2aAbx n+1 tmtn+1 + btm x ∂w ∂t = A(2axtn) exp +A  b m+1tm+1  2ax n+1tn+1 + 1 x  btm exp  exp  b m+1tm+1 +  b m+1tm+1 . (2.1.5) Раскрыв скобки в выражении (2.1.5), легко видеть, что оно совпадает с (2.1.4). 2.2 Подстановка функции трёх переменных в уравнение с высшими производными Убедимся, что функция w(x, y, t) = e−λy A(t)eβx +B(t)e−βx+ 6  b m+1tm+1 , (2.1.3) . (2.1.4) Вычислим теперь производную по t, т.е. левую часть (2.1.2):

Стр.6

A(t) = C1 exp ν(λ2 +β2)t −β  +xφ(t)+yψ(t)+χ(t),  − λ  B(t) = C2 exp ν(λ2 +β2)t +β  φ(t) dt  − λ  φ(t) dt , (2.2.1a)  ψ(t) dt − (2.2.1b)  ψ(t) dt − (2.2.1c) где C1, C2, λ > 0, β > 0 — произвольные константы, а φ(t), ψ(t) и χ(t) — произвольные функции, удовлетворяет уравнению ∂t (∆w)+ ∂w ∂ ∂ ∂y ∂x(∆w)− ∂w ∂x ∂y(∆w) = ν∆∆w. ∂ (2.2.2) Решение. Нестационарное уравнение Навье–Стокса (2.2.2) описывает двумерное нестационарное течение вязкой несжимаемой жидкости. Оно является уравнением 4-го порядка, поскольку содержит двукратное применение оператора Лапласа ∆. При подстановке функции (2.2.1) в уравнение (2.2.2) будем пользоваться формулой (2.3.5). Из (2.2.1a) имеем ∂w ∂x = βe−λy A(t)eβx −B(t)e−βx+φ(t), ∂w ∂y = −λe−λy A(t)eβx +B(t)e−βx+ψ(t) ∂2w ∂x2 = β2e−λy A(t)eβx +B(t)e−βx ∂2w ∂y2 = λ2e−λy A(t)eβx +B(t)e−βx , 7 (2.2.3a) (2.2.3b) и аналогично вторые производные по пространственным переменным: (2.2.4a) (2.2.4b)

Стр.7

откуда получаем результат действия на w(x, y, t) оператора Лапласа: ∆w = (λ2 +β2)e−λy A(t)eβx +B(t)e−βx . Теперь с помощью (2.2.5) вычислим производные от ∆w ∂(∆w) ∂x = β(λ2 +β2)e−λy A(t)eβx −B(t)e−βx ∂(∆w) ∂y = −λ(λ2 +β2)e−λy A(t)eβx +B(t)e−βx , а с помощью (2.2.6) — входящие в (2.2.2) выражения ∂w ∂y ∂w ∂x ∂(∆w) ∂x = −λβ(λ2 +β2)e−2λyA2(t)e2βx −B2(t)e−2βx+ +βφ(t)(λ2 +β2)e−λyA(t)eβx −B(t)e−βx , (2.2.7a) ∂(∆w) ∂y = −λβ(λ2 +β2)e−2λyA2(t)e2βx −B2(t)e−2βx − −λψ(t)(λ2 +β2)e−λyA(t)eβx +B(t)e−βx . (2.2.7b) В (2.2.2) входит разность выражений (2.2.7a) и (2.2.7b); при её вычислении первые слагаемые в квадратных скобках в (2.2.7a) и (2.2.7b) сокращаются, после чего получаем ∂w ∂y ∂(∆w) ∂x − ∂w ∂x ∂(∆w) ∂y = = A(t)(λ2 +β2)eβx−λy[βφ(t)+λψ(t)]− −B(t)(λ2 +β2)e−βx−λy[βφ(t)−λψ(t)]. (2.2.8) Теперь займемся дифференцированием по времени t. Пользуясь формулой (2.3.5) и учитывая, что производные по времени от неопределенных интегралов в показателях экспонент в (2.2.1b) и (2.2.1c) равны соответствующим подынтегральным выражениям, имеем ∂A(t) ∂t = A(t) ν(λ2 +β2)−βψ(t)−λφ(t) , 8 (2.2.9a) (2.2.6a) (2.2.6b) (2.2.5)

Стр.8