Вейвлет-преобразование в задаче сжатия цифровых изображений (110,00 руб.)

Стр.1

Стр.3

Стр.6

Стр.7

Стр.8

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» М.А. Артемов, Е.С. Барановский, М.В. Киргинцев ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ В ЗАДАЧЕ СЖАТИЯ ЦИФРОВЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ Учебно-методическое пособие для вузов Воронеж Издательский дом ВГУ 2015

Стр.1

1 Введение Цифровые изображения играют весьма важную роль в современном информационном мире. Потребность в существенном увеличении объемов и скорости передачи визуальной информации определяет постоянный интерес к улучшению алгоритмов сжатия цифровых изображений. В данном учебном пособии рассматривается вейвлетный подход к сжатию изображений. Понятия вейвлета и вейвлет-преобразования являются сравнительно новыми, но они уже нашли широкие применения во многих прикладных задачах, в том числе в задачах кодирования и сжатия данных. В современной литературе имеется несколько подходов к изложению теории вейвлетов. Чаще всего вейвлет-преобразование определяется как обобщение преобразования Фурье (см., например, [1, 2]). При этом акцентируется внимание на преимуществах, которые дает вейвлет-анализ по сравнению с классическим методами Фурье. Прежде всего отмечается возможность обнаружения локализованных деталей сигнала, в то время как Фурье-анализ дает усредненную развертку сигнала. Новые возможности объясняются спецификой вейвлетпреобразования, обеспечивающего двумерную развертку одномерного сигнала за счет использования непрерывных масштабных преобразований и сдвигов базисного вейвлета. Другой подход к определению вейвлетов связан с использованием высокочастотных и низкочастотных фильтров (см. [3, глава 6]). На наш взгляд, знакомство с теорией вейвлетов следует начинать с рассмотрения системы вейвлетов Хаара, названной по имени венгерского математика Альфреда Хаара. Эта система вейвлетов достаточно проста и допускает наглядную геометрическую интерпретацию. Базовые вейвлеты Хаара хорошо иллюстрируют идею разложения потока информации на основной и уточняющий информационный поток. Следуя подходу, предложенному в монографии [3], мы рассматри3

Стр.3

Определение. Выражение вида m  i=1 ξixi, ξi ∈ R, называется линейной комбинацией векторов x1,x2, . . . ,xm. Линейная комбинация называется нетривиальной, если среди коэффициентов ξ1, . . . , ξm есть ненулевые, и тривиальной в противном случае. Определение. Система векторов x1,x2, . . . ,xm называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору. В противном случае система векторов называется линейно независимой. Другими словами, система x1,x2, . . . ,xm называется линейно независимой, если из равенства m  i=1 следует ξ1 = ξ2 = · · · = ξm = 0. Пример. Система функций {sin2(t), cos2(t), 1} является линейно зависимой, a система функций fi, i = 1, . . . , 4, где fi(t) =  1, если t ∈ i−1 ∈ i−1 0, если t / 4 , i 4 , i 4 , 4 , линейно независима. Определение. Бесконечная система векторов x1,x2, . . . , называется линейно независимой, если любая ее конечная подсистема линейно независима. Упражнение. Приведите пример бесконечной линейно независимой системы функций в пространстве L2(0, 1). 6 ξixi = 0

Стр.6

2.3 Евклидово пространство Определение. Линейное пространство с фиксированным в нем скалярным произведением называется евклидовым пространством. Напомним, что скалярным произведением в линейном пространствеE называется функция, сопоставляющая паре элементов x,y ∈ E вещественное число (x,y) и удовлетворяющая следующим условиям: (i) (x1 +x2,y) = (x1,y)+(x2,y), (ii) (λx,y) = λ(x,y), (iii) (x,y) = (y,x), (iv) (x,x) ≥ 0, причем (x,x) = 0 только при x = 0. Примеры. 1) Пространство Rn со скалярным произведением (x,y) =  i=1 n xiyi, где x = (x1, . . . ,xn), y = (y1, . . . , yn), есть евклидово пространство. 2) Пространство L2(0, 1) со скалярным произведением (v,u) =  1 0 u(t)v(t) dt. где u, v ∈ L2(0, 1), является евклидовым пространством. Скалярное произведение позволяет ввести в абстрактном линейном пространстве E понятие нормы (длины) вектора. Норма определяется с помощью формулы x = (x,x)1/2. Из условий (i)–(iv) следует, что основные свойства длины вектора, которые выполняются в обычном трехмерном пространстве, остаются справедливыми в случае абстрактного евклидова пространства. Упражнение. Докажите справедливость неравенства Коши-Буняковского (x,y) ≤ xy. 7

Стр.7

2.4 Сходимость и замыкание Пусть x1,x2, . . . — последовательность элементов пространства E. Определение. Говорят, что последовательность {xn} сходится к x (пишут xn →x), если xn −x→0 при n→∞. Пусть M ⊂ E — некоторое множество, u — некоторый элемент пространства E. Определение. Говорят, что u является точкой прикосновения множества M, если найдется последовательность {xn} ⊂ M сходящаяся к u. Определение. Совокупность всех точек прикосновения множества M обозначается M и называется замыканием множества M. 2.5 Ортогональные системы векторов Пусть E — евклидово пространство. Введем понятие угла между ненулевыми векторами x,y ∈ E. Определение. Угол между векторами x,y ∈ E определяется как решение уравнения cosϕ = (x,y) xy , ϕ ∈ [0, π] (2.1) относительно ϕ. Для обоснования корректности определения заметим следующее. Из неравенства Коши-Буняковского вытекает, что 0 ≤ |(x,y)| xy ≤ 1. Поэтому уравнение (2.1) имеет решение и это решение единственно. Если (x,y) = 0, то cosϕ = 0 и, следовательно, ϕ = π/2. В этом случае векторы называются ортогональными. 8

Стр.8