7 1.2 Связь между линейными дифференциальными уравнениями и интегральными уравнениями Вольтерра . <...> 9 1.3 Решение интегрального уравнения Вольтерра с помощью резольвент . <...> 12 1.4 Метод последовательных приближений для решения интегрального уравнения Вольтерра . <...> 19 1.6 Решение интегро-дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа . <...> 38 2.3 Построение резольвенты с помощью итерированных ядер . <...> 57 2.6 Интегральные уравнения Фредгольма с ядрами, зависящими от разности аргументов . <...> 64 2.7 Решение однородных интегральных уравнений с вырожденным ядром . <...> 68 Приложение А Сводка основных методов решения интегральных уравнений . <...> Суммируемые функции Функция 𝑓 𝑥 , неотрицательная на интервале 𝑎, 𝑏 , называется суммируемой на этом интервале, если ! 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ! конечен. <...> В дальнейшем мы будем иметь дело с основным интервалом 𝐼 = (𝑎, 𝑏) (или 𝐼! <...> Пространство 𝑳𝟐(𝒂, 𝒃) Говорят, что 𝑓 𝑥 есть функция с интегрируемым квадратом на 𝑎, 𝑏 , если интеграл ! 𝑓!(𝑥)𝑑𝑥 ! существует (конечен). <...> Совокупность всех функций с интегрируемым квадратом на 𝑎, 𝑏 обозначим 𝐿!(𝑎, 𝑏) или коротко 𝐿! <...> Произведение двух функций с интегрируемым квадратом есть интегрируемая функция. <...> (𝑥) !𝑑𝑥 = 0, ! ! то говорят, что последовательность функций 𝑓! 𝑥 , 𝑓! 𝑥 ,… сходится в среднем или, точнее, в среднем квадратичном к функции 𝑓(𝑥) <...> . Если последовательность 𝑓!(𝑥) функций из 𝐿! сходится равномерно к 𝑓(𝑥), 𝑓(𝑥) ∈ 𝐿! и 𝑓!(𝑥) сходится к 𝑓(𝑥) в среднем. <...> Пространство 𝐿! полно, т.е. всякая фундаментальная последовательность функций из 𝐿! сходится к функции, также принадлежащей 𝐿! <...> ! 6 1 Интегральные уравнения Вольтерра 1.1 Основные понятия Уравнение ! 𝜑 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝜆 ! где 𝑓(𝑥), 𝐾(𝑥, 𝑡) – известные функции, 𝜑(𝑥) – искомая функция, λ –числовой параметр, называется линейным интегральным уравнением Вольтерра 2-го рода. <...> Если 𝑓(𝑥) ≡ 0, то уравнение (1.1) принимает вид ! 𝜑 𝑥 = 𝜆 ! и называется однородным уравнением Вольтерра 2-го рода. <...> Уравнение ! 𝐾 𝑥, 𝑡 𝜑 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑥), ! где <...>
МЕТОДЫ_РЕШЕНИЯ_ИНТЕГРАЛЬНЫХ_УРАВНЕНИЙ.pdf
УДК 517.968 (075.8)
ББК 22.161.6я75
А39
Рецензенты
А.М. Пищухин, доктор технических наук, профессор, декан факультета
информационных технологий Оренбургского государственного университета
В.В. Тугов, кандидат технических наук, доцент кафедры системного анализа и
управления Оренбургского государственного университета
Акимов, И. А.
А 39 Методы решения интегральных уравнений: учебно-методическое
пособие для студентов физико-математических факультетов педвузов / И.А.
Акимов, А.И. Акимов, Е.О. Каракулина; Мин-во образования и науки Рос.
Федерации, ФГБОУ ВПО «Оренб. гос. пед. ун-т». – Оренбург: Южный Урал,
2015.– 104 с.: ил.
УДК 517.968 (075.8)
ББК 22.161.6я75
©Акимов И.А., Акимов А.И., Каракулина Е.О., 2015
© Оформление. Издательство Южный Урал, 2015
Стр.2
Содержание
Содержание ................................................................................................................................................ 3
Введение ..................................................................................................................................................... 4
1 Интегральные уравнения Вольтерра ......................................................................................... 7
1.1 Основные понятия ...................................................................................................................................... 7
1.2 Связь между линейными дифференциальными уравнениями и интегральными
уравнениями Вольтерра ................................................................................................................................. 9
1.3 Решение интегрального уравнения Вольтерра с помощью резольвент ........................ 12
1.4 Метод последовательных приближений для решения интегрального уравнения
Вольтерра ........................................................................................................................................................... 16
1.5. Интегральные уравнения Вольтерра с интегралом типа свертки ................................... 19
1.6 Решение интегро-‐дифференциальных уравнений с помощью преобразования
Лапласа ................................................................................................................................................................ 25
1.7 Интегральные уравнения Вольтерра с пределами (x,+∞) ................................................... 28
1.8 Интегральные уравнения Вольтерра 1-‐го рода ......................................................................... 32
2 Уравнение Фредгольма 2-‐го рода ............................................................................................. 35
2.1 Основные понятия ................................................................................................................................... 35
2.2 Метод определителей Фредгольма .................................................................................................. 38
2.3 Построение резольвенты с помощью итерированных ядер ................................................ 42
2.4 Интегральные уравнения с вырожденным ядром .................................................................... 52
2.5 Характеристические числа и собственные функции .............................................................. 57
2.6 Интегральные уравнения Фредгольма с ядрами, зависящими от разности
аргументов ......................................................................................................................................................... 64
2.7 Решение однородных интегральных уравнений с вырожденным ядром ..................... 67
2.8 Неоднородные симметричные уравнения ................................................................................... 68
Приложение А Сводка основных методов решения интегральных уравнений ...... 77
Приложение Б Таблица оригиналов и изображений .......................................................... 87
Приложение В Варианты контрольных работ ........................................................................ 89
Список использованной литературы ........................................................................................ 104
3
Стр.3