Кроме того, изучаемые Tпространства оказываются коммутативными подалгебрами в F (3), что позволяет описать F (3) и некоторые ее подалгебры, как модули над этими коммутативными алгебрами. <...> Онеприводимости системы порождающих T-пространств Cpl и CDpl . <...> Это, в первую очередь, такие проблемы конечной базируемости, как проблема Мальцева, проблема Шпехта в положительной характеристике. <...> Примерно в это же время при доказательстве конечной базируемости систем обобщенных многочленов (т.е. элементов свободного произведения алгебры матриц и свободной алгебры F) А.В. Гришиным [7] было замечено, что в случае поля характеристики нуль достаточно только подстановок и линейных действий (умножения оказались не нужны). <...> Это привело к понятию T-пространства в алгебре обобщенных многочленов, а также стимулировало получение аналогичного результата для систем обычных многочленов (т.е. для элементов из алгебры F). <...> 4 Через ST обозначается T-пространство, порожденное подмножеством S некоторого T-пространства. <...> Пусть I — произвольный T-идеал алгебры F (возможно нулевой). <...> Относительно свободная алгебра F/I является, очевидно, циклическим kTмодулем, порожденным любой из своих переменных. <...> Согласно результатам А.В. Гришина [8], [43], если k — поле нулевой характеристики, а идеал I содержит многочлен Капели cn = σ∈Sn (−1)σy0xσ(1)y1 . . . xσ(n)yn, то этот циклический модуль нетеров. <...> В качестве следствия получается конечная базируемость любого T-идеала, содержащего многочлен Капели. <...> Щиголев [37], используя технику и обобщение результатов А.В. Гришина [8] и А.Р. Кемера [22], [23], доказал, что F = {x1} T — нетеров kT-модуль, т.е. всякие условия на T-идеал I можно отбросить. <...> Рост интереса к T-пространствам, как представляется, произошел и в связи с тем, что в конце 1997 года А.В. Гришиным был построен пример неконечно порожденного T-пространства над полем положительной характеристики: T-пространство, порожденное одночленами x2 1 . <...> . . x2 n, n ∈ N, над произвольным полем характеристики 2 не <...>
T_-пространства_в_относительно_свободной_алгебре_Грассмана_Монография_.pdf
УДК 512
ББК 22.144.5
Ц937
Рецензенты:
А. А. Фомин, заведующий кафедрой алгебры математического факультета
Московского педагогического государственного университета, доктор
физико-математических наук, профессор
В. Н. Латышев, заведующий кафедрой высшей алгебры механикоматематического
факультета Московского государственного университета
им. М.В. Ломоносова, доктор физико-математических наук, профессор
Ц937 Цыбуля Л. М. T-пространства в относительно свободной
алгебре Грассмана: Монография. – М.: Прометей, 2013. – 116 с.
Монография содержит результаты исследований по T-пространственной
и мультипликативной структуре относительно свободной алгебры Грассмана
F(3), соответствующей тождеству [[x1, x2], x3] = 0, над бесконечным
полем характеристики p > 0. Наибольшее внимание уделяется унитарно
замкнутым T-пространствам. Одним из главных результатов
является разложение фактор-T-пространств, связанных с F (3), в
прямую сумму простых компонент. Кроме того, изучаемые Tпространства
оказываются коммутативными подалгебрами в F (3), что
позволяет описать F (3) и некоторые ее подалгебры, как модули над
этими коммутативными алгебрами. В приложении изучаются не унитарно
замкнутые T-пространства, а также случай поля нулевой характеристики.
Работа предназначена для специалистов в области комбинаторной
алгебры, теории колец и модулей, аспирантов и студентов старших
курсов физико-математических факультетов университетов.
ISBN 978-5-7042-2440-2
© Л. М. Цибуля, 2013
© Издательство «Прометей», 2013
Стр.2
Оглавление
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Глава 1. Базовые сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1. Основные определения, обозначения и утверждения . . . . . 16
1.2. Теоремы о выравнивании . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3. Теорема о мономиальности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Глава 2. (p,n)-проблема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1. Онеприводимости системы порождающих T-пространств Cpl
и CDpl
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2. Разложение T-пространства Wn на диагональную и коммутаторную
составляющие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3. Структура диагональной компоненты Dn . . . . . . . . . . . 49
2.4. Структура коммутаторной компоненты CDn . . . . . . . . . 50
2.5. Ответ на (p,n)-проблему. Диаграммы включений . . . . . . 52
Глава 3. Структурные результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.1. Теорема о независимости элементарных составляющих . . . 54
3.2. Технические леммы и теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3. Простота элементарных факторов и прямые суммы . . . . . 62
3.4. Случай характеристики 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Глава 4. Мультипликативная структура . . . . . . . . . . . . . 71
4.1. Теорема о строении T-алгебры Wpl
. . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2. Описание F(3) и некоторых T-пространств как Wp- и Dpмодулей
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.3. Случай характеристики 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
П.1. Строение W∗
n над полем характеристики p, делящей n . . . 84
П.2. Случай взаимно простых n и p. Характеристика нуль . . . . 95
П.3. Список открытых вопросов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Список обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3
Стр.3