68 3.2.3 Условные законы распределения, зависимые и независимые случайные величины . <...> Если результат опыта изменяется при его повторении, то говорят об опыте со случайным исходом (элементарным исходом). <...> Например, на множестве элементарных исходов при бросании игральной кости можно выделить подмножество таких исходов, которые соответствуют четному числу очков. <...> В частности, появлению четного числа очков при бросании игральной кости соответствуют элементарные исходы с цифрами 2,4,6. <...> Такое множество называется пространством элементарных событий, связанных с рассматриваемым испытанием, а входящие в множество исходы (результаты 7 испытания) – точками пространства или элементарными событиями. <...> Пространство элементарных событий будем обозначать , а его точки – . <...> Для одного и того же испытания пространство элементарных событий можно вводить, вообще говоря, различными способами. <...> Под невозможным событием понимается событие, не содержащее ни одного элементарного события из данного пространства . <...> А , , , п появление которого состоит в появлении всех событий 12 n А А называется событие, А А . <...> А , , , п Если А,В,С – совместные события, то их произведение АВС означает наступление и события А, и события В, и события С. <...> Решение типовых примеров 1.1 Пусть А, В, С - произвольные события. <...> Решение 11 а) По определению АВС - произведение трех событий , , , б) Тогда АВС - произошло только событие В. в) А В С - Произошло либо событие А, либо B, либо С, т.е. хотя бы одно из событий произошло. г) АВС АВС АВС - произошло ровно два из трех событий 1.2 Опыт состоит в бросании игральной кости. <...> Рисунок 1.2 Решение События АВ + С означает попадание точки в область ( А заштрихована. <...> Частотой появления события А в данной серии опытов называют отношение числа т его появлений к числу п испытаний. <...> Та постоянная величина, которой приближается устойчивая частота случайного события при всё возрастающем числе испытаний, и представляет собою вероятность <...>
Теория_вероятностей_и_математическая_статистика.pdf
УДК 519.2
ББК 22.171
Г 94
Гулай Т.А.
Г94 Теория вероятностей и математическая статистика : учебное пособие,
издание второе дополненное / Т.А. Гулай , А.Ф. Долгополова, Д.Б. Литвин, С.В.
Мелешко. – Ставрополь : АГРУС, 2013.- 260 с.
Настоящее учебное пособие (издание второе дополненное) разработано в
соответствии с учебной программой дисциплины « Теория вероятностей и
математическая статистика» для студентов высшего профиля обучения
экономических факультетов ВУЗов с учетом федеральных государственных
образовательных стандартов высшего профессионального образования (ФГОС
ВПО) по направлению 080100 Экономика (квалификация - «бакалавр»).
Учитывая прикладной характер многих приведенных в пособии задач, оно
может быть также использовано при изучении аналогичных дисциплин в
экономических и технических ВУЗах. Пособие может быть использовано как
для работы под руководством преподавателя, так и для самостоятельного
изучения дисциплины.
УДК 519.2
ББК 22.171
Г 94
Стр.3
Содержание
ГЛАВА 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ........................ 7
1.1 Опыт и события теории вероятностей. Пространство исходов опыта ........ 7
1.2 Операции над событиями ................................................................................. 9
1.3 Частота и вероятность ..................................................................................... 16
1.4 Вероятностные пространства .......................................................................18
1.4.1 Дискретные вероятностные пространства
1.5 Методы вычисления вероятностей ............................................................... 20
1.5.1 Классическое определение вероятности ................................................ 20
1.5.2 Статистическое определение вероятности ............................................ 23
1.5.3 Геометрическая вероятность ................................................................... 25
1.6 Применение формул комбинаторики для вычисления вероятностей
событий................................................................................................................... 27
ГЛАВА 2 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ ..................................................................................................... 33
2.1 Аксиомы теории вероятностей ...................................................................... 33
2.2 Основные теоремы теории вероятностей ..................................................... 34
2.3 Формула полной вероятности ....................................................................... 39
2.4 Формула Байеса .............................................................................................. 40
2.5 Последовательность независимых испытаний............................................ 43
Самостоятельная работа к главам 1, 2 ................................................................ 48
ГЛАВА3 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ВЕКТОРЫ ........................................... 63
3.1 Случайные величины и векторы .................................................................... 63
3.1.1 Понятие случайной величины и случайного вектора .......................... 63
3.1.2 Закон распределения случайной величины и случайного вектора ..... 64
3.1.3 Ряд распределения, многоугольник распределения ............................. 64
3.2 Формы закона распределения ........................................................................ 66
3.2.1 Функция распределения и её свойства ................................................. 66
3.2.2 Непрерывная случайная величина. Плотность вероятности и её
свойства .............................................................................................................. 68
3.2.3 Условные законы распределения, зависимые и независимые
случайные величины ......................................................................................... 70
3.3 Числовые характеристики .............................................................................. 71
3.3.1 Математическое ожидание случайной величины и случайного
вектора ................................................................................................................ 71
3.3.2 Дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной
величины и случайного вектора ...................................................................... 72
3.3.3 Начальные и центральные моменты ...................................................... 74
3.3.4 Корреляционный момент, коэффициент корреляции .......................... 75
Самостоятельная работа к главе 3 ....................................................................... 86
3
Стр.4
ГЛАВА 4 ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И
ВЕКТОРОВ. ............................................................................................................. 116
4.1 Биномиальное, полиномиальное распределения ........................................ 116
4.2 Распределение Пуассона............................................................................... 118
4.3 Равномерное распределение ......................................................................... 120
4.4 Показательное распределение ...................................................................... 124
4.5 Нормальный закон распределения .............................................................. 132
4.6 Распределение Релея ..................................................................................... 139
ГЛАВА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ................ 147
ГЛАВА 6 ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ АРГУМЕНТОВ (ФСА) .......................... 155
Самостоятельная работа к главе 6 ..................................................................... 162
ГЛАВА 7 МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ............................................ 177
7.1 Понятие случайного процесса ...................................................................... 177
7.2 Стационарные процессы ............................................................................... 182
ГЛАВА 8 ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ............................ 189
8.1 Генеральная совокупность, выборка, выборочный метод ........................ 189
8.2 Представление статистических данных и оценивание закона
распределения генеральной совокупности ....................................................... 193
8.3 Эмпирическая функция распределения ...................................................... 198
8.4 Свойства оценок параметров распределения ............................................. 200
8.5 Точечные и интервальные оценки параметров распределения ................ 203
8.6 Метод моментов ............................................................................................ 206
8.7 Функция правдоподобия. Метод максимального правдоподобия .......... 209
8.8 Понятие статистической проверки гипотез ............................................. 213
8.9 Сравнение выборочной средней с математическим ожиданием.............. 214
8.10 Сравнение двух дисперсий ......................................................................... 218
8.11 Сравнение двух математических ожиданий ............................................. 221
8.12 Проверка гипотезы о распределении. Критерий Пирсона ...................... 225
ОТВЕТЫ ................................................................................................................... 232
Приложение 1. Значения функции
Приложение 2. Значения функции
P m em
xex
.................................... 242
!
1
2
Приложение 3. Значения функции Лапласа
x
x
ˆ
x
2
2
x
0
e dt
22
t
a
m
a
2 2
2
2
.................................... 244
x
e dt ..................... 245
0
Приложение 4. Значения приведённой функции Лапласа
4
t
2
2
........................................................................ 247
Стр.5
Приложение 5. Значения чисел q в зависимости от объема выборки п и
надежности γ для определения доверительного интервала среднего
квадратичного отклонения σх ............................................................................. 251
Приложение 6. Критические точки распределения 2
.................................... 252
Приложение 7. Критические точки распределения Фишера — Снедекора .. 253
Приложение 8. t-распределение (значение fkp, соответствующее
Р(Т > fkp) =α) ....................................................................................................... 256
Литература ........................................................................................................... 257
5
Стр.6