Звуковые колебания, чистые тона и восприятие высоты звука 162 3. <...> Хаос и самоподобие в алгоритмической композиции . <...> Высота звука: основа музыки Что делает ноту нотой? <...> До тех пор, пока голоса участников не начнут звучать примерно в одном диапазоне, каждый издает тон разной высоты. <...> 5 И, наконец, в-третьих, образуется ли данный интервал посредством простого преобразования частоты, как октава? <...> Затем ваша система восприятия собирает такие реакции на чистый тон и ассимилирует их в ваше слышание звука кларнета. <...> Возьмите любые две ноты с интервалом октава. <...> Настройка В предыдущем разделе мы убедились, что приятные для слуха гармонии создаются в результате одновременного звучания нот, частоты которых МАТЕМАТИКА В ОСНОВЕ МУЗЫКИ 25 находятся в простых соотношениях, таких как 2 (октава) и 3/2 (квинта). <...> 13 Конечно же, необходимо сохранить частотный коэффициент 2 для октавы, поэтому остальные частоты мы приписываем следующим образом (см. рис. <...> В действительности, данная система — известная как пифагорейская настройка — использовалась еще древними греками, музыка которых в большой мере строилась на использовании интервалов кварты и квинты. <...> 21 МАТЕМАТИКА В ОСНОВЕ МУЗЫКИ 31 Эта система принадлежит категории настроек под названием точные интонации, которая применяет более простые числа, чем пифагорейская настройка, и придает идеальные частотные коэффициенты большему количеству интервалов. <...> На данной схеме частотный коэффициент для каждого полутона, т. е. любой пары рядом располагающихся нот, будет равняться 12 √2. <...> Каждое число представляет частотный коэффициент ноты в отношении к исходной частоте C (до) Вставка 7. <...> Поскольку октава соответствует частотному коэффициенту 2, то интервал, равный количеству октав n, соответствует коэффициенту 2n. <...> В отличие от всего этого, вызванивание на колоколах может использовать лишь шесть или семь нот, проигрываемых на колокольнях. <...> Но в таких весьма ограниченных рамках вызванивание на колоколах <...>
Математические_и_физические_аспекты_теории_музыки.pdf
УДК 78.01+001
ББК 85.310+72
М34
Интернет-магазин
http://shop.rcd.ru
• физика
• математика
• биоло гия
• нефтегазовые
технологии
Математические и физические аспекты теории музыки / Под ред. А.В.Борисова
и Е.В.Овчинникова. — М.–Ижевск: Институт компьютерных исследований,
2013. — 432 с.
Математика — признанная царица наук — вовлечена практически во все исследования,
известные человечеству. Ее применение будет обязательным повсюду,
где требуется установить взаимосвязь между пространством, временем и мыслью.
Не стала исключением из этого правила и музыка, представляющая собой вполне
строгую шкалу высотных отношений, но в то же время обладающая чем-то неуловимым
и недосягаемым для строгой абстрактной логики.
Как и явления природы, музыка — результат взаимодействия принципов физики
и математики, поэтому с незапамятных времен эти науки идут «рука об руку»
и подчас связаны друг с другом совершенно удивительным образом. В этом Вы убедитесь,
прочитав данный сборник: здесь представлены наиболее интересные работы
и статьи зарубежных ученых, посвященные исследованию взаимосвязей между музыкой
и математикой. Книга написана на доступном языке и адресована широкому
кругу читателей.
ISBN 978-5-4344-0132-6
Институт компьютерных исследований, 2013
c
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru
ББК 85.310+72
Стр.4
Оглавление
1. Л. Харклроуд. Математика в основе музыки ... ...... . 7
1. Математика и музыка, дуэт .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . 8
2. Высота звука: основа музыки . .. .. .. .. .. .. ... .. 10
3. Настройка .
. .
. .
. . ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 24
4. Как изменить тему, используя математику . . . . . . . . . . . 35
5. Колокола и группы .. ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 54
6. Музыка, созданная на основе фактора случайности . . . . . . 67
7. Модель, модель, модель ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 85
8. Взгляд встречается со звуком .. .. .. .. .. .. .. ... .. 94
9. Как не смешивать математику с музыкой .. .. .. .. . . . . 105
2. Б.Пажиш. Гармония пифагорейцев .. ...... ...... . 119
1. Организация звуков .. ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 119
2. 1, 2, 3 и все! .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 121
3. В.Декевовилье. Был ли Бах математиком? .... ...... . 123
1. Ученая музыка . .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 124
2. Зашифрованные символы .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. 125
3. Пропорции .
. .
4. Другой метод . .
. .
. .
. . ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 127
. . ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 128
4. Э.Бюссе. Симметрия и композиция .. ...... ...... . 131
1. От симметрии слов. . .
2. . . .К симметрии нот . . ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 132
5. Х. Рёдерер. Введение в физику и психофизику музыки ... . 137
1. Наука о музыке и музыка науки. Мультидисциплинарный
подход .
. .
. .
. .
. .
. .
. . ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 137
2. Звуковые колебания, чистые тона и восприятие высоты звука 162
3. Звуковые волны, акустическая энергия и восприятие
громкости . .
. . ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 225
4. Генерация музыкальных звуков и сложных тонов. Восприятие
тембра . .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 268
. ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 131
Стр.5
6ОГЛАВЛЕНИЕ
5. Суперпозиция, последовательности сложных тонов и целостное
восприятие музыки . .. .. .. .. .. .. .. . . . . 331
Приложения .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 371
A. Некоторые количественные аспекты механизма действия
смычка .
. .
. .
. .
. . ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 371
B. Некоторые количественные аспекты моделей центрального
процессора высоты тона .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. 374
6. Г.Нирхаус. Хаос и самоподобие .... ...... ...... . 401
1. Теория хаоса .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 402
2. Странные аттракторы . ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 403
3. Фракталы .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 404
4. Системы Линденмайера ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 407
5. Хаос и самоподобие в алгоритмической композиции . . . . . 414
6. Системы Линденмайера в алгоритмической композиции . . . 418
7. Синопсис .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 425
Стр.6