Аврейцевич МЕТОДЫ АСИМПТОТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И СИНТЕЗА В НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКЕ И МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА Москва Ижевск 2013 УДК 22.161.0 ББК 517.1 А659 Интернет-магазин http://shop.rcd.ru • физика • математика • биология • нефтег азовые технологии Андрианов И., Аврейцевич Я. <...> Аврейцевич, 2013 c c Ижевский институт компьютерных исследований, 2013 http://shop.rcd.ru http://ics.org.ru ББК 517.1 Оглавление Предисловие . <...> Пример асимптотического расщепления дифференциального уравнения в частных производных . <...> Аппроксимация Эрмита –Паде и бифуркационные задачи . <...> Другие методы построения асимптотически эквивалентных функций . <...> Аврейцевич во время написания этой книги пользовался финансовой поддержкой гранта «MAESTRO» Народного центра науки Польши. <...> Используемые сокращения АМБ — асимптотический метод Болотина АП — аппроксиманта Паде АЭФ — асимптотически эквивалентная функция ГЦК — гранецентрическая решетка ДАП — двухточечная аппроксиманта Паде НДС — напряженно-деформированное состояние МРБ — метод Рэлея –Болотина МРР — метод Рэлея –Ритца ОЦК — объемно-центрированная кубическая решетка ПК — простая кубическая решетка Используемые специальные функции и постоянные B(. ,.) — бета-функция [185, гл. <...> Для классической культуры Китая или Японии принцип идеализации чужд. <...> Отсюда, кстати, ясно, что принцип идеализации не входит в число врожденных понятий человека, ему нужно учить. <...> Дадим слово еще одному гению, П.С.Лапласу, так описавшему метод возмущений: «Самый простой способ анализа различных возмущений (в движении планет — авт.)заключается в том, чтобы вообразить себе планету, движущуюся по эллипсу, элементы которого плавно изменяются, и одновременно представить себе, что настоящая планета колеблется вокруг этой воображаемой линии по очень малой траектории, свойства которой зависят от ее периодических возмущений» [115, c. <...> Универсальным, конечно, является 16 ВВЕДЕНИЕ следующее определение: «Асимптотология есть то, что под ней <...>
Методы_асимптотического_анализа_и_синтеза_в_нелинейной_динамике_и_механике_деформируемого_твердого_тела.pdf
УДК 22.161.0
ББК 517.1
А659
Интернет-магазин
http://shop.rcd.ru
• физика
• математика
• биология
• нефтег азовые
технологии
Андрианов И., Аврейцевич Я.
Методы асимптотического анализа и синтеза в нелинейной динамике и механике
деформируемого твердого тела. — М.–Ижевск: Институт компьютерных
исследований, 2013. — 276 с.
Книга посвящена современным асимптотическим методам, широко используемым
в нелинейной динамике и механике деформируемого твердого тела. Авторы
обобщили свой многолетний опыт в этой области, нашедший отражение в большом
количестве статей и монографий, а также учли достижения коллег. Изложение
основано на примерах, при этом авторы старались избегать сложных формальных
выкладок и обоснований, отдавая предпочтение описанию основных идей и алгоритмов.
Значительное внимание уделено методам суммирования, неразрывно связанным
с современными асимптотическими подходами. Основной посыл авторов
заключается в утверждении: современная компьютерная революция, бурное развитие
численных методов и массированное применение пакетов программ не только
не обесценили асимптотические методы, но даже сделали их более значимыми.
Именно в разумном сочетании численных и асимптотических подходов заключены
истоки прогресса в области нелинейной динамики и механики деформируемого
твердого тела.
Книга рассчитана на широкий круг читателей: студентов, аспирантов и преподавателей,
научных работников и инженеров, связанных с решением задач механики
и физики.
ISBN 978-5-4344-0116-6
И. Андрианов, Я. Аврейцевич, 2013
c
c
Ижевский институт компьютерных исследований, 2013
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru
ББК 517.1
Стр.2
Оглавление
Предисловие ..... ...... ...... ...... ...... . 7
Список обозначений и сокращений .... ...... ...... . 9
Введение. От принципа идеализации к асимптотологии ..... . 13
ГЛАВА 1. Асимптотические аппроксимации и ряды . ...... . 17
1.1. Асимптотические ряды ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 17
1.2. Асимптотические символы и действия над асимптотическими
представлениями .. ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 22
1.3. Выбор параметров асимптотического интегрирования . . . . 26
ГЛАВА 2. Регулярные асимптотические разложения ...... . 31
2.1. Методы возмущений и итераций .. .. .. .. .. .. ... .. 31
2.2. Задачи на собственные значения .. .. .. .. .. .. ... .. 37
2.3. Метод сопряженных уравнений .. .. .. .. .. .. ... .. 45
2.4. Нестепенные асимптотики .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . 46
2.5. Устранение неравномерностей асимптотических разложений . 48
2.6. Выбор нулевого приближения .. .. .. .. .. .. .. . . . . 55
2.7. Гомотопический метод возмущений .. .. .. .. .. ... .. 57
2.8. Метод малых дельта .. ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 62
2.9. Метод больших дельта ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 68
2.10. Метод Ляпунова –Шмидта .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . 72
2.11. Метод возмущения формы границы . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.12. Асимптотическая и реальная погрешности . . . . . . . . . . . 77
ГЛАВА 3. Сингулярные асимптотические разложения ..... . 81
3.1. Метод Гольденвейзера –Вишика –Люстерника . . . . . . . . . 81
3.2. Многоугольник Ньютона и его обобщения .. .. .. ... .. 90
3.3. Пример асимптотического расщепления дифференциального
уравнения в частных производных . .. .. .. .. .. ... .. 98
Стр.3
4ОГЛАВЛЕНИЕ
3.4. Расщепление граничных условий .. .. .. .. .. .. . . . . 101
3.5. Метод Папковича –Фадле (однородных решений) . . . . . . . 102
3.6. Угловые погранслои . . ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 105
3.7. Применение обобщенных функций .. .. .. .. .. ... .. 107
3.8. Метод многих масштабов . .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . 112
3.9. Метод сращиваемых асимптотических разложений . . . . . . 115
3.10. О краевых задачах уточненных теорий . . . . . . . . . . . . . 118
3.11. «Идеализация мстит за себя» .. .. .. .. .. .. .. ... .. 121
ГЛАВА 4. Метод динамического краевого эффекта . ...... . 125
4.1. Линейные колебания стержня . .. .. .. .. .. .. ... .. 125
4.2. Нелинейные колебания стержня . .. .. .. .. .. .. . . . . 128
4.3. Нелинейные колебания прямоугольной пластины . . . . . . . 132
4.4. Сочетание асимптотического и вариационного методов . . . . 137
4.5. О нормальных формах нелинейных колебаний распределенных
систем. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 141
ГЛАВА 5. Континуализация .. ...... ...... ...... . 143
5.1. Дискретные и континуальные модели механики . . . . . . . . 143
5.2. Цепочка упруго связанных масс .. .. .. .. .. .. ... .. 144
5.3. Классическая континуальная аппроксимация . . . . . . . . . . 147
5.4. «Всплески» .
. .
. .
. . ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 149
5.5. Континуализация огибающей . .. .. .. .. .. .. .. . . . . 151
5.6. Уточненные континуальные аппроксимации для описания
собственных колебаний ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 152
5.7. Вынужденные колебания .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. 155
ГЛАВА 6. Методы осреднения и гомогенизации ... ...... . 159
6.1. Осреднение при помощи метода многих масштабов . . . . . . 159
6.2. Метод «замораживания» для вязкоупругих задач . . . . . . . . 162
6.3. Метод ВКБ .
. .
. .
. . ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 164
6.4. Метод Кузмака –Уизема (нелинейный метод ВКБ) . . . . . . . 167
6.5. Дифференциальные уравнения с быстро переменными коэффициентами
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.6. Дифференциальные уравнения с периодически разрывными
коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.7. Периодически перфорированная среда . . . . . . . . . . . . . 181
6.8. Волны в периодически неоднородной среде . . . . . . . . . . 186
Стр.4
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
ГЛАВА 7. Суммирование асимптотических рядов .. ...... . 191
7.1. Анализ степенных рядов .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. 191
7.2. Аппроксимации Паде и непрерывные дроби . . . . . . . . . . 196
7.3. Суммирование по Борелю .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . 203
ГЛАВА 8. Применение аппроксимаций Паде ..... ...... . 205
8.1. Ускорение сходимости итерационных процессов . . . . . . . . 205
8.2. Исключение неоднородностей и уменьшение влияния эффекта
Гиббса . .
. .
. .
. .
. . ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 207
8.3. Локализованные решения .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. 209
8.4. Аппроксимация Эрмита –Паде и бифуркационные задачи . . 211
8.5. Оценки эффективных характеристик композитных
материалов .
. . ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 212
8.6. Метод возмущения вида граничных условий . . . . . . . . . . 213
8.7. И это далеко не все! .. ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 222
ГЛАВА 9. Сращивание асимптотических разложений ...... . 225
9.1. Метод асимптотически эквивалентных функций . . . . . . . . 225
9.2. Двухточечные аппроксимации Паде .. .. .. .. .. ... .. 227
9.3. Другие методы построения асимптотически эквивалентных
функций .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 231
9.4. Метод составных уравнений .. .. .. .. .. .. .. ... .. 233
9.5. Пример: уравнениеШрёдингера. .. .. .. .. .. .. . .
9.6. Пример: асимптотически эквивалентные функции в теории
композитов .
. .
. .
. . ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 235
Заключение ...... ...... ...... ...... ...... . 239
Литература ...... ...... ...... ...... ...... . 243
Предметный указатель ..... ...... ...... ...... . 267
Именной указатель . ...... ...... ...... ...... . 271
. . 235
Стр.5