В.С.Варадараджан ЭЙЛЕР СКВОЗЬ ПРИЗМУ ВРЕМЕНИ НОВЫЙ ВЗГЛЯД НА СТАРЫЕ ПРОБЛЕМЫ Перевод с английского Э.М.Эпштейна Под научной редакцией д.ф.-м.н., проф. <...> Просуществовав долгое время, эта теория наконец-то достигла наивысшего развития с появлением в конце 19 века исследований по теории чисел, а также в связи с очень популярной в настоящее время программой Ленглендса. <...> Таким образом, некоторые части данной главы можно рассматривать как краткое введение в программу Ленглендса. <...> Бесконечные произведения для тригонометрических и гиперболических функций . <...> Разложение функций (sinx)−1 и ctg x на элементарные дроби. <...> Разложения на элементарные дроби как интегралы . <...> Идеи Эйлера относительно суммирования таких рядов . <...> Гауссовы интегралы, винеровская мера и интегралы по траекториям Фейнмана–Каца . <...> Эйлеровы произведения для дзета-функции и родственных ей функций . <...> Эйлеровы произведения от Дирихле до Гекке . <...> В лекциях я обсуждал в основном работы Эйлера по бесконечным рядам и произведениям, руководствуясь главой, посвященной Эйлеру в прекрасной книге Андре Вейля «Теория чисел — история от Хаммурапи до Лежандра», опубликованной в 1984 году. <...> Его учитель Иоганн Бернулли, человек отнюдь не легкий в общении, называл его «несравненный Леонард Эйлер» и «король математиков». <...> Список математических и других научных достижений, носящих его имя, почти бесконечен: эйлерова прямая в треугольнике, эйлеровы углы вращения, уравнения Эйлера–Лагранжа в вариационном исчислении, эйлеровыинтегралы, эйлерова характеристика, эйлеровы уравнения движения твердого тела, уравнения Эйлера в гидродинамике, функция Эйлера ϕ(n), формула суммирования Эйлера–Маклорена, постоянная Эйлера, эйлеровы произведения и т. д. <...> Наверно, лишь Якоби и в современную эпоху Рамануджан могут вызвать сравнимое удивление и восхищение как мастера формальных преобразований. <...> В последние годы суммирование расходящихся рядов вновь оказалось мощным методом при решении <...>
Эйлер_сквозь_призму_времени._Новый_взгляд_на_старые_проблемы.pdf
УДК 51(09)
ББК 22.1г (0).Д
В18
Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского
фонда фундаментальных исследований по проекту
№07-01-07068.
ВарадараджанВ. С.
Эйлер сквозь призму времени. Новый взгляд на старые проблемы. — М.–
Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных
исследований, 2008. — 448 с.
Предлагаемое издание, приуроченное к 300-летию со дня рождения великого
математика Леонарда Эйлера, раскрывает основные идеи ученого, а также их значимость
для современности. Основная часть книги посвящена анализу трудов Эйлера
в области бесконечных рядов и произведений, их восприятию в наши дни (теория
значений ζ-функции, расходящиеся ряды и интегралы). Представлен краткий обзор
некоторых других исследований Эйлера, например, в области эллиптических интегралов
и теории чисел. Его работа над эллиптическими интегралами предшествовала
современной теории эллиптических кривых и абелевых вариаций; а его труд
по теории чисел затронул такие вопросы, которые могут быть полностью осознаны
только после развития теории полей классов. В одной из глав приведено краткое
описание эйлеровской теории произведений, которой он положил начало, но смысл
которой стал раскрываться только с появлением работ Дирихле. Просуществовав
долгое время, эта теория наконец-то достигла наивысшего развития с появлением
в конце 19 века исследований по теории чисел, а также в связи с очень популярной
в настоящее время программой Ленглендса. Таким образом, некоторые части данной
главы можно рассматривать как краткое введение в программу Ленглендса.
Книга предназначена для студентов старших курсов, аспирантов и исследователей,
а также для всех тех, кто интересуется историей математики, а в частности,
исследованиями Эйлера и их развитием в современной науке.
ISBN 978-5-93972-703-7
ББК 22.1г (0).Д
Оригинальное издание опубликовано на английском языке издательствомAmericanMathematical
Society под названием Euler Through Time: A New Look at Old Themes,
c
2006American Mathematical Society. Перевод выполнен и опубликован Научно-издательским
центром «Регулярная и хаотическая динамика» по соглашениюсAmericanMathematical Society.
Перевод на русский язык:
НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2008
c
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru
Стр.4
Оглавление
Предисловие . . . ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... vii
ГЛАВА 1. Леонард Эйлер (1707–1783) . ... .. .. ... .. ... 1
1.1. Введение ... .... ... .... .... .... ... .... . 1
1.2. Ранние годы . .... ... .... .... .... ... .... . 5
1.3. Первый петербургский период (1727–1741) . . . . . . .... . 10
1.4. Берлинский период (1741–1766) . .... .... ... .... . 14
1.5. Второй петербургский период и последние годы (1766–1783) 16
1.6. Opera Omnia . .... ... .... .... .... ... .... . 17
1.7. Личность Эйлера .. ... .... .... .... ... .... . 18
Литература . .... .... ... .... .... .... ... .... . 19
ГЛАВА 2. Математик-универсал .. .. ... .. .. ... .. ... 26
2.1. Введение ... .... ... .... .... .... ... .... . 26
2.2. Математический анализ .. .... .... .... ... .... . 26
2.3. Эллиптические интегралы .... .... .... ... .... . 30
2.4. Вариационное исчисление .... .... .... ... .... . 45
2.5. Теория чисел . .... ... .... .... .... ... .... . 51
Литература . .... .... ... .... .... .... ... .... . 80
ГЛАВА 3. Значения дзета-функции . . . ... .. .. ... .. ... 83
3.1. Краткий обзор .... ... .... .... .... ... .... . 83
3.2. Некоторые замечания о бесконечных рядах и произведениях
и их значениях .... ... .... .... .... ... .... . 90
3.3. Вычисление значений ζ(2) и ζ(4) .... .... ... .... . 97
3.4. Бесконечные произведения для тригонометрических и гиперболических
функций ... .... .... .... ... .... . 110
3.5. Разложение функций (sinx)−1 и ctg x на элементарные дроби.
Вычисление значений ζ(2k) и L(2k +1) .. ... .... . 124
3.6. Разложения на элементарные дроби как интегралы . .... . 135
3.7. Значения кратной дзета-функции .... .... ... .... . 151
Литература . .... .... ... .... .... .... ... .... . 160
Стр.5
vi
ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА 4. Формула суммирования Эйлера–Маклорена .. .. .
. 163
4.1. Формальный вывод . ... .... .... .... ... .... . 163
4.2. Случай полиномиальной функции .... .... ... .... . 168
4.3. Формула суммирования с остаточными членами ... .... . 169
4.4. Применения . .... ... .... .... .... ... .... . 174
Литература . .... .... ... .... .... .... ... .... . 179
ГЛАВА 5. Расходящиеся ряды и интегралы . . . . . ... .. ... 180
5.1. Расходящиеся ряды. Идеи Эйлера относительно суммирования
таких рядов ... ... .... .... .... ... .... . 180
5.2. Эйлеров вывод функционального уравнения для дзета-функции189
5.3. Суммирование Эйлером рядов факториалов .. ... .... . 199
5.4. Общая теория суммирования расходящихся рядов . . .... . 209
5.5. Суммирование в смысле Бореля . .... .... ... .... . 220
5.6. Тауберовы теоремы . ... .... .... .... ... .... . 229
5.7. Некоторые применения .. .... .... .... ... .... . 235
5.8. Интеграл Фурье, тауберова теорема Винера и преобразование
Гельфанда на коммутативных алгебрах Банаха . .... . 248
5.9. Обобщенные функции и размытое суммирование .. .... . 268
5.10. Гауссовы интегралы, винеровская мера и интегралы по траекториям
Фейнмана–Каца . .... .... .... ... .... . 278
Литература . .... .... ... .... .... .... ... .... . 300
ГЛАВА 6. Эйлеровы произведения . . . ... .. .. ... .. ... 306
6.1. Эйлеровы произведения для дзета-функции и родственных
ей функций .. .... ... .... .... .... ... .... . 306
6.2. Эйлеровы произведения от Дирихле до Гекке . ... .... . 314
6.3. Эйлеровы произведения от Рамануджана и Гекке до Ленглендса347
6.4. Абелевы расширения и теория полей классов . . . . .... . 366
6.5. Неабелевы L-функции Артина .. .... .... ... .... . 383
6.6. Программа Ленглендса . . .... .... .... ... .... . 385
Литература . .... .... ... .... .... .... ... .... . 387
Портретная галерея .. .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... 390
Образцы страниц Opera Omnia ... .. ... .. .. ... .. ... 427
Предметный указатель .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... 433
Именной указатель .. .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... 436
Стр.6