Р. Е.Борчердс КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ Перевод с английского А. Я. Мальцева Москва Ижевск 2007 УДК 530.145 ББК 22.315.1 Б839 Интернет-магазин http://shop.rcd.ru • физика • математика • биология • нефтегазовые техноло гии Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по проекту №06-01-14062. <...> Произведения обобщенных функций в нормировочных предписаниях . <...> Действие перенормировок на Lag и Feyn . <...> 3) Вычислить фейнмановский интеграл по путям, используя разложение в формальный степенной ряд по «константе взаимодействия» λ: a0 +a1λ+a2λ+··· Все ai являются конечными суммами по фейнмановским диаграммам. <...> Фейнмановские диаграммы являются при этом графическим обозначением для конечномерных интегралов. <...> 6) Регуляризовать интегралы, вводя «обрезание» (обычно существует бесконечномерное пространство всевозможных регуляризаций). <...> Например: R 7) Теперь мы имеем ряд a0()+ a1()λ+··· Блестящая идея: сделать λ, m и другие параметры лагранжиана зависящими от таким образом, чтобы члены полученного ряда от не зависели. <...> 9) Проигнорировать пункт 8, взять лишь первые члены ряда и сравнить с экспериментом. <...> Фейнмановский интеграл является интегралом по бесконечномерному пространству, и никакого аналога меры Лебега не существует. <...> КТП не меняется при действии G,и G действует транзитивно на пространстве обрезаний. <...> 1929 Гейзенберг и Паули заметили, что КТП содержит множество бесконечностей. <...> В экспериментах по сталкиванию частиц часто появляются огромные количества новых частиц, разлетающихся в виде узких пучков, называемых адронными струями. <...> Такое отображение однозначно продолжается до отображения из пространства V в пространство комплекснозначных функций на пространстве-времени, сохраняющего операции произведения и дифференцирования. <...> Действуя как в предыдущем случае, мы получаем уравнения Эйлера – Лагранжа: ∂µ∂µϕ = m2ϕ. <...> Общее уравнение Эйлера –Лагранжа Метод получения уравнений Эйлера –Лагранжа <...>
Квантовая_теория_поля..pdf
УДК 530.145
ББК 22.315.1
Б839
Интернет-магазин
http://shop.rcd.ru
• физика
• математика
• биология
• нефтегазовые
техноло гии
Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского
фонда фундаментальных исследований по проекту
№06-01-14062.
Борчердс Р.Е.
Квантовая теория поля. —Москва–Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая
динамика», Институт компьютерных исследований, 2006. — 96 с.
Автором предлагаемой монографии является выдающийся британский математик
Ричард Борчердс, получивший в 1998 году медаль Филдса за «работы по алгебре
и геометрии и, в частности, за доказательство Moonshine conjecture». Он ввел
точное математическое понятие «вершинной (операторной) алгебры», что сыграло
решающую роль в развитии теории представлений «monstrous moonshine» (понятие,
введенное в 1979 году Конвеем и Нортоном для характеристики поразительной
связи между конечной простой группой Монстр и модулярными функциями.).
Данная книга основана на лекциях, прочитанных осенью 2001 г. студентам
университета в Беркли и направленных на ознакомление математиков с основами
квантовой теории поля. В последнее время применение в математике методов и
идей этой теории оказалось чрезвычайно успешным, прежде всего в маломерной
топологии, симплектической геометрии и теории модулей римановых поверхностей,
не говоря уже о математической физике.
ISBN 978-5-93972-627-6
c
Р.Е.Борчердс, 2007
c
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru
НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2007
ББК 22.315.1
Стр.2
Оглавление
1. Введение ... .... ... .... .... .... ... .... . 5
1.1. Жизненный цикл физика-теоретика ... ... .... . 5
1.2. Исторический обзор Стандартной модели .. .... . 6
1.3. Некоторые проблемы с нейтрино .... ... .... . 10
1.4. Элементарные частицы в Стандартной модели .... . 12
2. Лагранжианы . .... ... .... .... .... ... .... . 13
2.1. Что такое лагранжиан? . . .... .... ... .... . 13
2.2. Примеры ... ... .... .... .... ... .... . 13
2.3. Общее уравнение Эйлера –Лагранжа . . ... .... . 15
3. Симметрии и токи . . ... .... .... .... ... .... . 15
3.1. Очевидные симметрии .. .... .... ... .... . 16
3.2. Не столь очевидные симметрии . .... ... .... . 18
3.3. Электромагнитное поле . . .... .... ... .... . 20
3.4. Переход от классической теории поля к гомологической
алгебре . ... .... .... .... ... .... . 22
4. Фейнмановские интегралы по путям .. .... ... .... . 23
4.1. Конечномерные интегралы .... .... ... .... . 24
4.2. Случай свободного поля . .... .... ... .... . 25
4.3. Функции Грина свободного поля . .... ... .... . 27
4.4. Случай поля со взаимодействием .... ... .... . 28
5.
0-мерная КТП .... ... .... .... .... ... .... . 28
5.1. Суммирование по Борелю .... .... ... .... . 32
5.2. Другие суммы по графам . .... .... ... .... . 33
5.3. Классическое поле . .... .... .... ... .... . 34
5.4. Эффективное действие . . .... .... ... .... . 36
6. Обобщенные функции и пропагаторы .. .... ... .... . 41
6.1. Евклидовы пропагаторы . .... .... ... .... . 43
6.2. Лоренцевы пропагаторы . .... .... ... .... . 45
6.3. Волновые фронты и произведения обобщенных функций
.. .... ... .... .... .... ... .... . 48
7. КТП в высших размерностях ... .... .... ... .... . 52
7.1. Пример .... ... .... .... .... ... .... . 52
Стр.3
4ОГЛАВЛЕНИЕ
7.2. Нормировочные предписания .. .... ... .... . 54
7.3. Конечные переномировки . .... .... ... .... . 56
7.4. Групповая структура конечных перенормировок . . . . 60
7.5. Дополнительные условия на нормировочные предписания
. .... ... .... .... .... ... .... . 62
7.6. Произведения обобщенных функций в нормировочных
предписаниях . .... .... .... ... .... . 64
8. Перенормировка лагранжианов . .... .... ... .... . 66
8.1. Алгебры обобщенных функций . .... ... .... . 67
8.2. Действие перенормировок на Lag и Feyn ... .... . 71
8.2.1. Действие на Lag . .... .... ... .... . 72
8.2.2. Действие на Feyn .... .... ... .... . 74
8.2.3. Действие на лагранжианах ... ... .... . 76
8.2.4. Интегрирование обобщенных функций . . . . 78
8.3. Конечномерные орбиты . . .... .... ... .... . 79
9. Фермионы .. .... ... .... .... .... ... .... . 82
9.1. Алгебра Клиффорда .... .... .... ... .... . 82
9.2. Структура алгебр Клиффорда . . .... ... .... . 86
9.3. Гамма-матрицы .. .... .... .... ... .... . 88
9.4. Уравнение Дирака . .... .... .... ... .... . 89
9.5. Четность, зарядовая симметрия и симметрия по отношению
к обращению времени . . .... ... .... . 89
9.6. Векторные токи .. .... .... .... ... .... . 91
Стр.4