МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
по уравнениям математической физики
для студентов IТ-направлений
Учебно-методическое пособие для вузов
Составители: А.А. Крыловецкий,
Т.А. Крыловецкая
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2014
Стр.1
∂f
∂x
f(x, y, z)
x
∂f
∂x(x0, y0, z0) ≡ lim
∂u
∂x + ∂u
∂2u
∂x2 −
∆x→0
(x0, y0, z0)
f(x0 +∆x, y0, z0)−f(x0, y0, z0)
∆x
∂y = 0, y∂u
∂2u
∂y2 + ∂u
∂x −x∂u
.
∂y = 0.
∂x = 0,
∂2u
∂x2 + ∂2u
∂u
∂x = 0, u = u(x, y).
u(x, y) = ϕ(y),
ϕ(y)
∂y2 + ∂2u
∂z2 = 0.
∂u
∂y = f(y),
f(y)−
.
u(x, y) = f(y)dy +ϕ(x),
Стр.3
x→ξ = ϕ(x, y), y →η = ψ(x, y).
ux = uξξx +uηηx, uy = uξξy +uηηy.
uxx = (uξξx)x +(uηηx)x =
= uξξξ2
x +uξηξxηx +uξξxx +uηηη2
= uξξξ2
x +uηξηxξx +uηηxx =
x +2uξηξxηx +uηηη2
x +uξξxx +uηηxx.
uxy = uξξξxξy +uξη(ξxηy +ξyηx)+uηηηxηy+
+uξξxy +uηηxy
uyy = uξξξ2
y +2uξηξyηy +uηηη2
a11uξξ +2˜
˜
a12 = a11ξxηx +a12(ξxηy +ηxξy)+a22ξyηy,
a22 = a11η2
˜
˜
˜
x +2a12ηxηy +a22η2
a11 = 0
˜
a22 = 0
˜
a11 = 0
˜
a11z2
a22 = 0
˜
y.
ϕ(x, y)
x +2a12zxzy +a22z2
y = 0.
ψ(x, y)
z = ϕ(x, y)
ϕ(x, y) = C
a12uξη + ˜
a11 = a11ξ2
a22uηη + ˜
y +uξξyy +uηηyy.
F(ξ, η, u, uξ, uη) = 0.
x +2a12ξxξy +a22ξ2
y,
Стр.6
a11(dy)2 −2a12dxdy +a22(dx)2 = 0.
z = ϕ(x, y)
a11
ϕx
ϕy
2
−2a12 −
dy
dx = −
a11
dy
dx
ϕ(x, y) = C
2
−2a12
ϕx
ϕy
ϕx
ϕy
dy
dx
+a22 = 0.
+a22 = 0.
a11
dy
dx
a11
ϕx
ϕy
2
−2a12
2
a11ϕ2
dy
dx
−2a12 −
+a22 = 0.
ϕx
ϕy
+a22 = 0.
x +2a12ϕxϕy +a22ϕ2
ξ = ϕ(x, y)
y = 0,
ϕ(x, y) = const
a11(dy)2 −2a12dxdy +a22(dx)2 = 0,
uξξ
ξ = ψ(x, y)
ψ(x, y) = const
uηη
Стр.7
dy
dx = a12 +a2
12 −a11a22
a11
dy
dx = a12 −a2
12 −a11a22
a11
,
.
a11uxx +2a12uxy +a22uyy +F = 0.
a2
12−a11a22 > 0
ϕ(x, y) = C
ξ = ϕ(x, y), η = ψ(x, y)
uξη
uξη = G(ξ, η, u, uξ, uη).
ψ(x, y) = C
ξ = α +β, η = α−β
α = ξ +η
2 , β = ξ −η
u = u(α(ξ, η), β(ξ, η))
2 .
uξ = uααξ +uββξ = uα +uβ
2
,
uη = uααη +uββη = uα −uβ
2
uξη = uαααξαη +uαβαξβη +uααξη+
+uβαβξαη +uβββξβη +uββξη = uαα −uββ
4
.
,
Стр.8