МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
Ю.М. Фетисов
МЕТОДЫ
РЕГРЕССИННОГО И КОРРЕЛЯЦИОННОГО
АНАЛИЗА В ГЕОГРАФИИ И ГЕОЭКОЛОГИИ
Учебно-методическое пособие для вузов
Издательский дом ВГУ
2014
Стр.1
ПРЕДИСЛОВИЕ
Важные разделы статистического исследования связаны с корреляционным
и регрессионным анализом. Для выявления статистических связей
между анализируемыми признаками применяют корреляционный анализ.
Общее назначение множественной регрессии состоит в анализе связи между
несколькими независимыми переменными (называемыми также регрессорами
или предикторами) и зависимой переменной (называемой откликом или
критерием). Регрессионный анализ позволяет математически описать формулу
зависимости между исследуемыми признаками.
В STADIA содержится большой набор процедур множественного корреляционного
и регрессионного анализа. Их грамотное использование требует
от географа и геоэколога как знания по теории множественного корреляционного
и регрессионного анализа, так и владения навыками практической
работы в среде этого пакета.
Пособие содержит начальные сведения о пакете STADIA, позволяющие
освоить основные приемы работы с массивами данных, а также научиться
практическому использованию трех модулей пакета:.множественной
линейной регрессии, пошаговой регрессии и общей (нелинейной) регрессии.
Для успешного освоения каждого из этих модулей вначале даётся
краткий теоретический материал, а затем рассматривается типовая задача с
указателем всех пунктов меню, приводящих к ее решению. С целью проверки
знаний и закрепления навыков в пособии приведены задания для самостоятельной
работы. Такая структура оказывается очень удобной при приеме
зачетов по каждой теме, а так же при использовании пособия для самостоятельного
изучения.
3
Стр.3
4. Диалог. Далее протекает диалог, характерный для выполняемого
метода с выдачей числовых результатов анализа и их интерпретации в экранную
страницу [Rez] текстового редактора, а графиков результатов – в
графические страницы [Gri], i=1,...15.
Текстовый редактор становится доступным при активизации страницы
результатов анализа [Rez]. Он поддерживает большинство типичных для подобных
редакторов операций: ввод текста с клавиатуры, выделение фрагментов
текста, удаление символов (только клавишей Back Space ) и фрагментов,
забор фрагментов в буфер обмена и вставление фрагментов из буфера.
Редактор поддерживает также общие операции: чтение и запись в отношении
текстовых файлов, изменение шрифта и выдачи результатов на печать.
Для
переноса числовых результатов анализа в электронную таблицу
необходимо забирать их в буфер обмена из страницы результатов, перейти в
электронную таблицу и в нужном месте вставить содержимое буфера обмена.
Полученные
в графической форме результаты могут быть перенесены
в электронную таблицу посредством специальной инструментальной клавиши
«СохрГраф.». Координаты точек каждого графика переносятся в первые
свободные столбцы электронной таблицы.
Система STADIA выпускается в четырех модификациях (учебная, студенческая,
базовая и профессиональная), отличающихся только объемом обрабатываемых
данных (соответственно 400, 4000, 20000 и 32000 чисел совокупно
в матрице данных). Учебная STADIA с файлами примеров свободно
доступна по адресу : http://statsoft.msu.ru/Stadia.zip. Это дает возможность
студентам использовать данный пакет вне учебных компьютерных классов.
STADIA постоянно развивается, появляются более совершенные версии
этой системы, открывая новые возможности для пользователей.
6
Стр.6
2. МНОЖЕСТВЕННЫЙ КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ И
РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
2.1. Теоретические основы.
Множественный корреляционный анализ является одним из методов
статистического анализа взаимосвязи нескольких признаков. Он применяется
тогда, когда данные наблюдений можно считать случайными и выбранными
из генеральной совокупности, распределенной по многомерному
нормальному закону.
Исходной для анализа является матрица
⎛ х11
х21
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎜хn1
х12
х22
х1k ⎞
х1k
хn2 хnk ⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
размерностью (n×k), которая представляет собой n наблюдений для каждого
из k факторов.
Сначала находят парные коэффициенты корреляции, характеризующие
тесноту линейной зависимости между двумя переменными на фоне
действия всех остальных показателей, входящих в модель. Они изменяются
в пределах от –1 до +1, причем чем ближе коэффициент корреляции к ±1,
тем сильнее зависимость между переменными.
Коэффициент парной корреляции вычисляют по формуле
rjl =
n (x
1
i 1
∑
=
n
где ∑∑
==
x =
j
n x , s
1
n
i 1
ij
j =
n
ij − x ) (xil − x )
j ⋅
j
⋅
s sl
n (x
1
i 1
l
; j, 0,1,..., k ,
l =
ij − x )
j
2
.
Здесь rjl – коэффициент корреляции между одним из факторов xj и
фактором xl (j, l = 1,2, … ,k), rol – коэффициент корреляции между результативным
признаком y и одним из факторов xl.
Если один из коэффициентов rjl (j, l = 1,2, … ,k) окажется равным 1, то
это означает, что факторы xj и xl функционально (не вероятностно) связаны
7
Стр.7
между собой и тогда целесообразно один из них исключить из рассмотрения,
причем оставляют тот фактор, у которого коэффициент roi больше.
После вычисления всех парных коэффициентов корреляции и исключения
из рассмотрения того или иного фактора можно построить корреляционную
матрицу:
⎛ 1
R =
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
r
r
20
10
⎝ rk 0
r01
1
r
r
21
k1
r
r
12
02
1
rk 2
r
r
r
2
1
0
k
k
k
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
1 ⎠
⎟
⎟
Матрица R является симметрической и положительно определенной.
Используя корреляционную матрицу, можно вычислить частные коэффициенты
корреляции, которые характеризуют тесноту линейной зависимости
между двумя переменными при исключении влияния всех остальных
показателей, входящих в модель. Например, частный коэффициент
корреляции (k-1)–го порядка между y и х1 равен:
01
r01/ 2,3,...,k = −
R R
R
00 ⋅
,
11
где Rjl – алгебраическое дополнение элемента rjl корреляционной матрицы
R.
Для изучения тесноты связи между результативным признаком y и несколькими
факторами х1, х2, …, хk используют множественный коэффициент
корреляции r0. Множественный коэффициент корреляции характеризует
тесноту связи между одной результативной переменной и остальными, входящими
в модель; r0 всегда положителен и изменяется от 0 до 1. Множественный
коэффициент корреляции также служит и для оценки качества
предсказания. Чем больше r0, тем лучше качество предсказаний данной моделью
опытных данных. Квадрат множественного коэффициента корреляции
называется множественным коэффициентом детерминации. Он характеризует
долю дисперсии, результативной переменной, обусловленной
влиянием факторов, входящих в модель.
Множественный коэффициент корреляции определяется по формуле:
r0 = −1 R
R 00
8
,
.
Стр.8