Теория вероятностей в пакете MATLAB (500,00 руб.)

Стр.3

Стр.4

Стр.5

Стр.6

Стр.7

Стр.8

УДК 519.21 ББК 22.171 П39 Рецензенты : доктор физ.-мат. наук, профессор Ю. П. Пытьев; доктор физ.-мат. наук, профессор Л.А. Севастьянов Плохотников К. Э., Николенко В. Н. П39 Теория вероятностей в пакете MATLAB. Учебник для вузов. – М.: Горячая линия – Телеком, 2014. – 611с. + Папка с MATLAB-файлами (16 семинарских занятий, 196 файлов). ISBN 978-5-9912-7005-2 В учебном пособии изложены классические основы теории вероятностей на базе пакета прикладных программ MATLAB. Курс состоит из двух тесно связанных частей и включает 16 лекций (Часть I) и 16 семинарских занятий (Часть II). Во второй части представлены две контрольные работы с ответами, по 90 задач в каждой. Папка «Приложение к учебнику «Теория вероятностей в пакете MATLAB» содержит MATLAB-файлы учебных программ 16-и семинарских занятий. Данную папку можно скачать с сайта издательства. Особенностью курса является активное использование изобразительных и вычислительных возможностей пакета MATLAB в целях овладения студентами навыками подсчета вероятностей и моделирования методом Монте-Карло различного рода случайных величин и событий. В последних трех лекциях и семинарах курса в рамках выборочного метода излагаются основы математической статистики. Данный курс лекций ориентирован на бакалавров, в перечень обучения которых входит дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика». Он также может оказаться полезным для магистров, желающих расширить свои знания по теории вероятностей и основам математической статистики, опираясь на пакет прикладных программ MATLAB. ББК 22.171 Адрес издательства в Интернет WWW.TECHBOOK.RU Электронное учебное издание Плохотников Константин Эдуардович, Николенко Владимир Николаевич Теория вероятностей в пакете MATLAB Учебник для вузов Издание подготовлено авторами и опубликовано в авторской редакции Подписано в печать 31.12.2013. Формат 60×90/8 Уч. изд. л. 25. ISBN 978-5-9912-7005-2 © К. Э. Плохотников, В.Н. Николенко, 2013 © Издательство «Горячая линия – Телеком», 2013

Стр.3

Плохотников К.Э., Николенко В.Н. Теория вероятностей в пакете MATLAB ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. ЛЕКЦИИ .................................................................................... 8 ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................. 9 ЛЕКЦИЯ №1 .............................................................................................. 13 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ........................................................... 13 §1. Определение теории вероятностей ........................................................................................... 13 §2. Некоторые примеры ................................................................................................................... 14 §3. Устойчивость частот в массовых статистических совокупностях ........................................ 21 ЛЕКЦИЯ №2 .............................................................................................. 25 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ .......................................... 25 §1. Событие. Вероятность события ................................................................................................ 25 §2. Непосредственный подсчет вероятности ................................................................................. 27 §3. Частота или статистическая вероятность события .................................................................. 33 §4. Случайная величина ................................................................................................................... 34 §5. Геометрическая вероятность ..................................................................................................... 35 §6. Принцип практической уверенности ........................................................................................ 37 ЛЕКЦИЯ №3 .............................................................................................. 42 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ ........................................................................... 42 §1. Определение комбинаторики .................................................................................................... 42 §2. Размещения, перестановки и сочетания ................................................................................... 42 §3. Биномиальное распределение ................................................................................................... 47 §4. Идея метода проверки статистических гипотез ...................................................................... 49 ЛЕКЦИЯ №4 .............................................................................................. 52 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ .......................................... 52 §1. Смысл и назначение основных теорем теории вероятностей ................................................ 52 §2. Теорема сложения вероятностей .............................................................................................. 58 ЛЕКЦИЯ №5 .............................................................................................. 67 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. II ..................................... 67 §1. Теорема умножения вероятностей ............................................................................................ 67 §2. Формула полной вероятности ................................................................................................... 75 §3. Теорема гипотез (формула Бейеса) ........................................................................................... 79 ЛЕКЦИЯ №6 .............................................................................................. 84 ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННАЯ ТРАКТОВКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ .................................................................................................. 84 §1. Пространство элементарных исходов ...................................................................................... 84 §2. Соответствие теории множеств и теории вероятностей ......................................................... 85 ЛЕКЦИЯ №7 .............................................................................................. 95 СЕРИЯ ПОВТОРНЫХ ОПЫТОВ ............................................................................. 95 §1. Основные определения, характерные для серии испытаний.................................................. 95 §2. Локальная и интегральная предельные теоремы Муавра-Лапласа ........................................ 99 §3. Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности ....................................... 103 ЛЕКЦИЯ №8 ............................................................................................ 108 ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ............................... 108 §1. Ряд распределения. Многоугольник распределения ............................................................. 108 §2. Функция распределения .......................................................................................................... 112 §3. Вероятность попадания в заданный интервал ....................................................................... 117 — 3 —

Стр.4

Плохотников К.Э., Николенко В.Н. Теория вероятностей в пакете MATLAB ЛЕКЦИЯ №9 ............................................................................................ 119 ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОКАЗАТЕЛИ СРЕДНЕГО СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ................................................................................................... 119 §1. Плотность распределения ........................................................................................................ 119 §2. Числовые характеристики случайных величин ..................................................................... 125 §3. Показатели средней величины ................................................................................................ 126 ЛЕКЦИЯ №10 .......................................................................................... 134 МОМЕНТЫ. ДИСПЕРСИЯ. СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ ..................................................................................................................... 134 §1. Моменты ................................................................................................................................... 134 §2. Дисперсия. Среднеквадратическое отклонение .................................................................... 138 §3. Коэффициент асимметрии и эксцесс ...................................................................................... 140 ЛЕКЦИЯ №11 .......................................................................................... 147 НОРМАЛЬНОЕ, РАВНОМЕРНОЕ И ПУАССОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ .......... 147 §1. Нормальный закон распределения.......................................................................................... 147 §2. Равномерно распределенная случайная величина................................................................. 154 §3. Закон Пуассона ......................................................................................................................... 157 §4. Свойства математического ожидания и дисперсии .............................................................. 161 ЛЕКЦИЯ №12 .......................................................................................... 164 СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН .................................................................. 164 §1. Понятие о системе случайных величин ................................................................................. 164 §2. Система двух случайных величин .......................................................................................... 167 §3. Законы распределения случайных величин, входящих в систему....................................... 174 ЛЕКЦИЯ №13 .......................................................................................... 181 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ .................................... 181 §1. Закон больших чисел ............................................................................................................... 181 §2. Неравенство Чебышева, теорема Чебышева .......................................................................... 185 §3. Обобщенная теорема Чебышева, теорема Маркова .............................................................. 192 §4. Теоремы Бернулли и Пуассона ............................................................................................... 197 ЛЕКЦИЯ №14 .......................................................................................... 199 ВВЕДЕНИЕ В ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД СТАТИСТИКИ .................................... 199 §1. Генеральная и выборочная совокупности .............................................................................. 199 §2. Случайная выборка .................................................................................................................. 202 §3. Оценка параметров генеральной совокупности .................................................................... 206 §4. Оценки математического ожидания и дисперсии ................................................................. 209 §5. Доверительный интервал. Доверительная вероятность ........................................................ 212 ЛЕКЦИЯ №15 .......................................................................................... 217 ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ ДЛЯ ПАРАМЕТРОВ НОРМАЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ И БИНОМИАЛЬНОЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ..................... 217 §1. Распределение Стьюдента ....................................................................................................... 217 §2. Распределение “хи-квадрат” ................................................................................................... 223 §3. Оценка вероятности по частоте .............................................................................................. 228 ЛЕКЦИЯ №16 .......................................................................................... 233 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ...................................................... 233 §1. Статистическая гипотеза ......................................................................................................... 233 §2. Двухсторонний критерий оценки математического ожидания ............................................ 234 §3. Односторонние критерии оценки математического ожидания ............................................ 242 §4. Оценка математического ожидания при неизвестной дисперсии........................................ 245 §5. Оценка дисперсии нормального распределения ................................................................... 248 — 4 —

Стр.5

Плохотников К.Э., Николенко В.Н. Теория вероятностей в пакете MATLAB ЧАСТЬ II. СЕМИНАРЫ ........................................................................ 253 СЕМИНАР №1 ......................................................................................... 254 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ......................................................... 254 §1. Вводные задачи ........................................................................................................................ 254 §2. Устойчивость частот в массовых статистических совокупностях ...................................... 266 СЕМИНАР №2 ......................................................................................... 271 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ........................................ 271 §1. Событие. Вероятность события .............................................................................................. 271 §2. Непосредственный подсчет вероятности ............................................................................... 272 §3. Частота или статистическая вероятность события ................................................................ 278 §4. Геометрическая вероятность ................................................................................................... 280 §5. Принцип практической уверенности ...................................................................................... 282 СЕМИНАР №3 ......................................................................................... 290 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ ......................................................................... 290 §1. Размещения, перестановки и сочетания ................................................................................. 290 §2. Биномиальное распределение ................................................................................................. 295 §3. Идея метода проверки статистических гипотез .................................................................... 296 §4. Дополнительные задачи........................................................................................................... 299 СЕМИНАР №4 ......................................................................................... 301 ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ......................................................... 301 §1. Краткая теоретическая справка ............................................................................................... 301 §2. Примеры использования теоремы сложения вероятностей ................................................. 302 §3. Дополнительные задачи........................................................................................................... 313 СЕМИНАР №5 ......................................................................................... 315 ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ТЕОРЕМА ГИПОТЕЗ ......................................................................... 315 §1. Краткая теоретическая справка ............................................................................................... 315 §2. Задачи на тему теоремы умножения вероятностей ............................................................... 316 §3. Задачи на тему формулы полной вероятности ...................................................................... 323 §4. Задачи на тему теорема гипотез или формулы Бейеса ......................................................... 327 §5. Дополнительные задачи........................................................................................................... 331 СЕМИНАР №6 ......................................................................................... 333 ПРОСТРАНСТВО ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ИСХОДОВ .............................................. 333 §1. Краткая теоретическая справка ............................................................................................... 333 §2. Примеры пространств элементарных исходов ...................................................................... 333 §3. Дополнительные задачи........................................................................................................... 342 СЕМИНАР №7 ......................................................................................... 346 СЕРИЯ ПОВТОРНЫХ ОПЫТОВ ........................................................................... 346 §1. Биномиальное распределение ................................................................................................. 346 §2. Локальная и интегральная предельные теоремы Муавра-Лапласа ...................................... 349 §3. Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности ....................................... 355 §4. Дополнительные задачи........................................................................................................... 361 СЕМИНАР №8 ......................................................................................... 364 ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ............................... 364 §1. Ряд распределения. Многоугольник распределения ............................................................. 364 §2. Функция распределения .......................................................................................................... 368 §3. Вероятность попадания в заданный интервал ....................................................................... 373 §4. Дополнительные задачи........................................................................................................... 375 — 5 —

Стр.6

Плохотников К.Э., Николенко В.Н. Теория вероятностей в пакете MATLAB КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1 ПО МАТЕРИАЛАМ СЕМИНАРОВ №1 — №8 ................................................................................. 380 СЕМИНАР №9 ......................................................................................... 387 ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОКАЗАТЕЛИ СРЕДНЕГО СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ................................................................................................... 387 §1. Плотность распределения ........................................................................................................ 387 §2. Показатели средней величины ................................................................................................ 396 §3. Дополнительные задачи........................................................................................................... 406 СЕМИНАР №10 ....................................................................................... 411 МОМЕНТЫ. ДИСПЕРСИЯ. СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ ..................................................................................................................... 411 §1. Моменты ................................................................................................................................... 411 §2. Дисперсия. Среднеквадратическое отклонение .................................................................... 416 §3. Коэффициент асимметрии и эксцесс ...................................................................................... 418 §4. Дополнительные задачи........................................................................................................... 428 СЕМИНАР №11 ....................................................................................... 430 НОРМАЛЬНОЕ, РАВНОМЕРНОЕ И ПУАССОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ .......... 430 §1. Нормальный закон распределения.......................................................................................... 430 §2. Равномерно распределенная случайная величина................................................................. 438 §3. Закон Пуассона ......................................................................................................................... 442 §4. Свойства математического ожидания и дисперсии .............................................................. 444 §5. Дополнительные задачи........................................................................................................... 448 СЕМИНАР №12 ....................................................................................... 452 СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН .................................................................. 452 §1. Понятие о системе случайных величин ................................................................................. 452 §2. Система двух случайных величин .......................................................................................... 454 §3. Законы распределения случайных величин, входящих в систему....................................... 464 §4. Дополнительные задачи........................................................................................................... 473 СЕМИНАР №13 ....................................................................................... 476 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ .................................... 476 §1. Закон больших чисел ............................................................................................................... 476 §2. Неравенство Чебышева, теорема Чебышева .......................................................................... 482 §3. Обобщенная теорема Чебышева, теорема Маркова .............................................................. 492 §4. Теоремы Бернулли и Пуассона ............................................................................................... 499 §5. Дополнительные задачи........................................................................................................... 501 СЕМИНАР №14 ....................................................................................... 505 ВВЕДЕНИЕ В ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД СТАТИСТИКИ .................................... 505 §1. Генеральная и выборочная совокупности .............................................................................. 505 §2. Случайная выборка .................................................................................................................. 508 §4. Оценки математического ожидания и дисперсии ................................................................. 514 §5. Доверительный интервал. Доверительная вероятность ........................................................ 518 §6. Дополнительные задачи........................................................................................................... 523 СЕМИНАР №15 ....................................................................................... 531 ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ ДЛЯ ПАРАМЕТРОВ НОРМАЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ И БИНОМИАЛЬНОЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ..................... 531 §1. Распределение Стьюдента ....................................................................................................... 531 §2. Распределение “хи-квадрат” ................................................................................................... 539 §3. Оценка вероятности по частоте .............................................................................................. 548 §4. Дополнительные задачи........................................................................................................... 554 — 6 —

Стр.7

Плохотников К.Э., Николенко В.Н. Теория вероятностей в пакете MATLAB СЕМИНАР №16 ....................................................................................... 559 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ...................................................... 559 §1. Статистическая гипотеза ......................................................................................................... 559 §2. Двухсторонний критерий оценки математического ожидания ............................................ 560 §3. Односторонние критерии оценки математического ожидания ............................................ 574 §4. Оценка математического ожидания при неизвестной дисперсии........................................ 578 §5. Оценка дисперсии нормального распределения ................................................................... 584 §6. Дополнительные задачи........................................................................................................... 590 КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2 ПО МАТЕРИАЛАМ СЕМИНАРОВ №9 — №16 ............................................................................... 597 ОТВЕТЫ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ №1 ..................................... 608 ОТВЕТЫ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ №2 ..................................... 610 — 7 —

Стр.8