Представлена новая математическая модель теплопереноса в кремниевом автоэмиссионном острийном катоде малого размера, которая позволяет учитывать возможное его частичное проплавление. <...> Для специалистов, проводящих исследования в области процессов теплопереноса и автоэлектронной эмиссии, может быть полезна студентам старших курсов и аспирантам. <...> Плотность эмиссионного тока и эффект Ноттингама . <...> Особенности автоэлектронной эмиссии из полупроводникового катода . <...> Аппроксимация формулы для плотности эмиссионного тока . <...> Система фазового поля и ее использование при моделировании теплопереноса . <...> Система фазового поля как регуляризация предельных задач со свободной границей . <...> Асимптотическое решение системы фазового поля и модифицированная задача Стефана . <...> Слабое решение системы фазового поля и модель зоны проплавления . <...> Вывод решения предельной задачи Стефана–Гиббса– Томсона из численного решения системы фазового поля 133 3.6. <...> Вычисление плотности эмиссионного тока и моделирование эффекта Ноттингама . <...> Все физические константы, входящие в него, известны, однако сама формула получена на основе туннелирования через потенциальный барьер из полуплоскости в пространство. <...> На практике этот учет осуществляется с помощью так называемого «форм–фактора» — множителя, входящего в выражение для потока тепла с поверхности эмиттера. <...> Этот множитель является единственным «подгоночным» параметром в нашей задаче и может быть легко определен экспериментально с помощью сравнения теоретической величины плотности эмиссионного тока (с плоской поверхности эмиттера) и реального эмиссионного тока, наблюдаемого в эксперименте. <...> Далее приведена математическая постановка задачи автоэлектронной эмиссии из полупроводникового катода малого размера. <...> В главе 2 кратко приводятся некоторые сведения из физики твердого тела, в частности, — формулы для удельной проводимости, коэффициентов термо–ЭДС и Томсона для полупроводников <...>
Математическое_моделирование_эмиссии_из_катодов_малых_размеров_(1).pdf
УДК 537.533.2:519.633
ББК 22.311
М34
Р е ц е н з е н т ы : доктор физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой
теории вероятностей и прикладной математики МТУСИ
доктор физ.-мат. наук, профессор кафедры высшей математики НИУ
ВШЭ
Авторы:
В. Г. Данилов, В. Ю. Руднев, Р. К. Гайдуков, В. И. Кретов
М34 Математическое моделирование эмиссии из катодов малых
размеров. – М.: Горячая линия–Телеком, 2014. – 232 с.: ил.
ISBN 978-5-9912-0425-2.
Представлена новая математическая модель теплопереноса в
кремниевом автоэмиссионном острийном катоде малого размера,
которая позволяет учитывать возможное его частичное проплавление.
Приведенная математическая модель основана на системе
фазового поля – современного обобщения задачи типа Стефана.
Используемый авторами подход является не чисто математическим,
а основан на понимании структуры решения (построении и
изучении асимптотических решений) и компьютерных вычислениях.
В книге приведен алгоритм численного решения уравнений
полученной математической модели, в том числе его параллельная
реализация. В заключение приведены результаты численного
моделирования.
Для специалистов, проводящих исследования в области процессов
теплопереноса и автоэлектронной эмиссии, может быть
полезна студентам старших курсов и аспирантам.
ББК 22.311
Адрес издательства в Интернет WWW.TECHBOOK.RU
;
ISBN 978-5-9912-0425-2
© В. Г. Данилов, В. Ю. Руднев,
Р. К. Гайдуков, В. И. Кретов, 2014
© Издательство «Горячая линия–Телеком», 2014
А
.
Г. К
ю
ркч
ан
В
.
М. Ч
е
тве
ри
ко
в
Стр.2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
Глава 1. Введение
9
1.1. Краткая история открытия явления эмиссии электронов 9
1.2. Виды электронной эмиссии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4. Математическая постановка задачи. Модель теплопереноса
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Глава 2. Физические основы автоэлектронной эмиссии 18
2.1. Зонная теория и уровень Ферми . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2. Удельная проводимость полупроводников . . . . . . . . . . 24
2.2.1. Концентрация электронов и дырок . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.2. Эффективная масса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.3. Подвижности электронов и дырок . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.4. Зависимость удельной проводимости от температуры
в кремнии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3. Термоэлектричество . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4. Теплопроводность твердых тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.1. Электронная теплопроводность . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.2. Теплопроводность кристаллической решетки. . . . . 34
2.5. Плотность эмиссионного тока и эффект Ноттингама . 35
2.5.1. Функция поддержки в металлах . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5.2. Туннелирование электронов через
потенциальный барьер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5.3. Формула для коэффициента прозрачности барьера
в случае автоэмиссионного катода . . . . . . . . . . . . . 51
2.5.4. Плотность эмиссионного тока в металлах . . . . . . . 56
2.5.5. Особенности автоэлектронной эмиссии из полупроводникового
катода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Стр.3
4
Оглавление
2.5.6. Аппроксимация формулы для плотности эмиссионного
тока . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.5.7. Эффект Ноттингама . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.5.8. Оптимальные значения параметров аппроксимаций 67
2.5.9. Зависимость инверсионной температуры от напряженности
внешнего электрического поля . . . . . . . . 69
Глава 3. Математическая модель
72
3.1. Система фазового поля и ее использование при моделировании
теплопереноса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2. Система фазового поля как регуляризация предельных
задач со свободной границей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.3. Асимптотическое решение системы фазового поля и
модифицированная задача Стефана . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.3.1. Построение асимптотического решения . . . . . . . . . 87
3.3.2. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.4. Слабое решение системы фазового поля и модель зоны
проплавления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.4.1. Слабые решения и условия типа Гюгонио . . . . . . . 104
3.4.2. Решения типа «волновой поезд» и соответствующая
предельная задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.5. Вывод решения предельной задачи Стефана–Гиббса–
Томсона из численного решения системы фазового поля 133
3.6. Рождение и слияние диссипативных волн . . . . . . . . . . 143
Глава 4. Численное моделирование и его результаты 151
4.1. Модель нанокатода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.2. Вычисление плотности тока внутри катода . . . . . . . . . 155
4.3. Вычисление плотности эмиссионного тока и моделирование
эффекта Ноттингама . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.4. Разностная схема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.4.1. Разностная схема для уравнения на потенциал . . . 162
4.4.2. Разностная схема для уравнения на функцию порядка
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4.4.3. Разностная схема для уравнения теплопроводности 166
4.4.4. Устойчивость разностной схемы . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.4.5. Об еще одном варианте разностной схемы . . . . . . . 173
4.4.6. Выбор шагов разностной схемы . . . . . . . . . . . . . . . 175
Стр.4
Оглавление
5
4.5. Алгоритм решения разностных уравнений и возможные
варианты его распараллеливания . . . . . . . . . . . . . 177
4.6. Результаты численных экспериментов . . . . . . . . . . . . . 182
4.6.1. Немонотонное поведение свободных границ . . . . . . 183
4.6.2. Результаты моделирования с физическими параметрами,
соответствующими экспериментальным . 186
4.7. Образование зародышей плавления и кристаллизации
в модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
4.8. Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Литература
218
Стр.5