МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ “ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ” (ФГБОУ ВПО «ВГУ») Методы решения нелинейных дифференциальных уравнений Учебно-методическое пособие для вузов Составитель: Ю.Б. Савченко Воронеж 2014 2 Утверждено научно-методическим советом математического факультета 06.06.2014 года протокол № 0500-06 Рецензент: к.ф-м. н., доцент Леженина И.Ф. <...> Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре уравнений в частных производных и теории вероятностей математического факультета Воронежского государственного университета Рекомендуется для студентов 5 курса и магистров 1 курса очной формы обучения математического факультета, обучающихся по специальностям: 010101 Математика 010100 Математика 3 1. <...> МОНОТОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ В функциональном анализе имеются несколько направлений, связанных с различным обобщением на бесконечномерный случай понятия монотонной функции. <...> Теория монотонности оператора является одной из глав функционального анализа, которая получила глубокие и интересные приложения в теории уравнений с частными производными. <...> ОБ ОДНОМ НЕЛИНЕЙНОМ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ УРАВНЕНИИ, ВОЗНИКАЮЩЕМ В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ. <...> Будем обозначать через цилиндр в : конечно, а через его боковую границу Первым примером нелинейного уравнения в частных производных, который мы рассмотрим, будет уравнение, возникающее в релятивистской квантовой механике (см. Шифф [1], Юргенс [1], Сигал [1], [2] ). <...> Ищется вещественная функция являющаяся решением уравнения 4 (2.1.1) где При этом нам задано функция задана в (можно предполагать только, что удовлетворять краевым и начальным условиям: (2.1.2) на , (2.1.3) где и – заданные функции • Рассматриваемая задача является нелинейной из-за члена . <...> Для того чтобы более точно сформулировать нашу задачу, а также найти средства для её решения, мы должны ввести несколько функциональных <...>
_Методы_решения_нелинейных_дифференциальных_уравнений.pdf
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
“ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ”
(ФГБОУ ВПО «ВГУ»)
Методы решения нелинейных дифференциальных уравнений
Учебно-методическое пособие для вузов
Составитель:
Ю.Б. Савченко
Воронеж
2014
Стр.1
3
1. МОНОТОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
В функциональном анализе имеются несколько направлений, связанных с
различным обобщением на бесконечномерный случай понятия монотонной
функции.
Теория монотонности оператора является одной из глав функционального
анализа, которая получила глубокие и интересные приложения в теории
уравнений с частными производными.
2. ОБ ОДНОМ НЕЛИНЕЙНОМ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ
УРАВНЕНИИ, ВОЗНИКАЮЩЕМ В
РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ.
2.1 Постановка задачи
Следующие ниже обозначения будут использоваться на протяжении всего
пособия.
Через
будем обозначать область в пространстве
точек
. Пусть -граница . Мы всегда будем считать, что граница
«достаточно регулярна»; по мере надобности предположения будут
уточняться.
Будем обозначать через цилиндр в
:
конечно, а через его боковую границу
Первым примером нелинейного уравнения в частных производных,
который мы рассмотрим, будет уравнение, возникающее в релятивистской
квантовой механике (см. Шифф [1], Юргенс [1], Сигал [1], [2] ). Ищется
вещественная функция
являющаяся решением уравнения
Стр.3
6
Элементами
функций из
.
По мере надобности мы будем напоминать основные свойства
пространств
, то см. Лионс – Мадженес [1], гл. 1 •
Для изучения задачи (2.1), (2.2), (2.3) необходимо ввести пространство
(2.2.6)
где
(2.2.7)
Пространство снабжается нормой
,
Превращающей его в пространство Банаха.
В силу теорем вложения Соболева (Соболев [1] ) иемеем
Вообще, через будем обозначать пространство, сопряжённое к .
–
пространств Соболева, равно как и других пространств такого же типа,
вводимых ниже. Что касается систематического изложения теории
являются суммы производных первого порядка от
при
так что
при
Нам понадобится.
Л е м м а 2.1. Пространство , определённое формулой (2.2.6),
сепарабельно ( т.е. в нём существует счётное всюду плотное множество).
(2.2.8)
Стр.6
7
Д о к а з а т е л ь с т в о. В самом деле, с помощью отображения
пространство
замкнутым подпространством в пространстве
можно отождествить с
,
которое сепарабельно и равномерно выпукло, так что счётное всюду плотное
множество можно спроектировать на это подпространство •
Теперь нам надо вести пространства функций от и . Если ,
– функция, определённая в , то положим
и будем рассматривать
как функцию (или распределение) от
значениями в пространстве функций (или распределений) от .
В общем случае, если
пространство (классов) функций
измеримых, принимающих значения из и таких, что
(2.2.9)
Очевидно, имеем
Мы будем искать (и найдём) решение
пространстве
для
задачи (2.1), (2.2), (2.3) в
. Но тогда нам надо определить производную
в этом пространстве. Сейчас мы определим её в более общем случае
.
Обозначим через
пространство распределений на интервале
со значениями в , определённое как (см. Л. Шварц [2] )
(2.2.10)
со
- банахово пространство, то обозначим через
,
Стр.7
8
В общем случае через
непрерывных отображений в .
Если
определяется из равенства
.
Каждому элементу
(также обозначаемое через ) на
(2.2.11)
можно сопоставить распределение
со значениями в по формуле
,
где интеграл принимает значение в ; мы, кроме того, можем с помощью
(2.2.11) определить
как элемент
Без труда проверяется
Л е м м а 2.2. Если
(
нуль (из отрезка
.
и
), то , после, быть может, изменения на множестве меры
, будет непрерывным отображением
.
2.3 Теоремы существования и единственности
Мы возвращаемся к поставленной задаче о нахождении функции ,
являющейся решением задачи
в
на
,
Здесь заменено на
,
. Будет доказана
Т е о р е м а 2.1. Предположим, что заданы такие ,
,
,
, что
(2.3.4)
(2.3.1)
(2.3.2)
(2.3.3)
мы будем обозначать пространство линейных
, то производная в смысле распределений
Стр.8