ISBN 978-5-7996-1252-8 В пособии рассмотрены основные понятия теории рядов Фурье и преобразования Фурье, условия разложимости функции в ряд Фурье и в интеграл Фурье. <...> Показана связь преобразования Фурье и преобразования Радона. <...> Продемонстрировано применение преобразования Радона в компьютерной томографии. <...> 12 Ряды Фурье для функций с произвольным периодом . <...> Интегральное преобразование Фурье можно найти во многих методических пособиях и учебниках. <...> Интегрального преобразования Радона нет ни в одном учебнике по математике из списка основной и дополнительной рекомендуемой литературы. <...> Учитывая тесную связь и взаимозависимость этих разделов математики, мы в данных методических указаниях изложили их с единой точки зрения, сделав акцент на практическом применении интегрального преобразования Радона. <...> ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Пусть ()f x – функция, определенная на всей числовой оси. <...> Число T называется периодом этой функции, если для любого x выполняется соотношение: f xT f x). <...> РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ПЕРИОДОМ 2π Поставим задачу: разложить сложную периодическую функцию на простые периодические функции, т. е. функции вида Ax . sin можно представить в виде ax bsin . cos x (5) Это простая гармоника с периодом 2 . <...> Если мы хотим разложить функцию с периодом 2 на простые гармоники, то их частоты следует выбирать так, чтобы каждая из этих гармоник имела 2 в качестве одного из своих периодов. <...> Таким образом, в качестве гармоник следует брать гармоники с частотами число. n , где n – натуральное Допуская в качестве составляющей еще и постоянную функцию, для которой любое число является периодом, приходим к такой задаче: разложить функцию ()f x с периодом 2 в ряд вида a ax b 11 2 cos2 sin 2 . a nx b sin . <...> Предположим, что эта функция оказалась такой, что для нее нашлось разложение в равномерно сходящийся ряд вида 0 2 11sin cos nnsin cos 6 fx a a x b x . a nx b nx . <...> Пусть ()f x – периодическая функция с периодом 2π. <...> Этот ряд называется <...>
Ряды_Фурье._Интергральные_преобразования_Фурье_и_Радона.pdf
УДК 517.518.45(075.8)
ББК 22.161.5я73
В67
Рецензенты: кафедра прикладной математики Уральского государственного
экономического университета (завкафедрой,
канд. физ.-мат. наук, доц. Ю. Б. Мельников);
канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. М. Ф. Прохорова
(ИММ УрО РАН)
Научный редактор − канд. физ.-мат. наук, доц. Р. М. Минькова
В67
Волков, В. А.
Ряды Фурье. Интегральные преобразования Фурье и Радона :
учебно-методическое пособие / В. А. Волков. – Екатеринбург :
Изд-во Урал. ун-та, 2014. – 32 с.
ISBN 978-5-7996-1252-8
В пособии рассмотрены основные понятия теории рядов Фурье и преобразования
Фурье, условия разложимости функции в ряд Фурье и в интеграл
Фурье. Показана связь преобразования Фурье и преобразования Радона.
Продемонстрировано применение преобразования Радона в компьютерной
томографии.
Пособие предназначено для студентов физико-технологического института
и соответствует федеральному государственному образовательному стандарту
третьего поколения.
Библиогр.: 8 назв. Рис. 9.
УДК 517.518.45(075.8)
ББК 22.161.5я73
ISBN 978-5-7996-1252-8
2
© Уральский федеральный
университет, 2014
Стр.3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ............................................................................................... 4
Периодические функции ..................................................................... 4
Ряды Фурье для функций с периодом 2π ........................................... 5
Вспомогательные соотношения .......................................................... 6
Ряд Фурье для функции с периодом 2π .............................................. 6
Теорема Дирихле .................................................................................. 8
Ряды Фурье для четных и нечетных функций ................................. 12
Ряды Фурье для функций с произвольным периодом .................... 14
Разложение функции, заданной на отрезке [0, l] ............................ 17
Ряд Фурье в комплексной форме ...................................................... 19
Интеграл Фурье .................................................................................. 20
Интегральное преобразование Фурье .............................................. 24
Интегральное преобразование Радона ............................................. 27
Применение преобразования Радона ............................................... 29
Библиографический список .............................................................. 31
3
Стр.4