Функциональный анализ (128,00 руб.)

Изложены методы решения задач по основам теории метрических пространств, компактных множеств, нормированных и гильбертовых пространств, линейных функционалов и операторов. <...> Метрикой на множестве X называют функцию ρ: XЧX →R, удовлетворяющую следующим аксиомам метрики: ника). <...> Метрическим пространством называют множество X с заданной на нем метрикой ρ, т. е. пару (X, ρ). <...> Аксиома симметрии выполняется, поскольку для любых x и y трим функцию f(t) = t 1+t , t ∈ [0;+∞). <...> Для доказательства выполнения аксиомы треугольника рассмося возрастающей: f(t) = 1 (1+t)2 > 0. <...> Неравенство треугольника для метрики ρ∗ выполняется. # если существуют такие α, β > 0, что для любых x, y ∈ X верно неравенство αρ2(x, y)  ρ1(x, y)  βρ2(x, y). <...> Таким образом, метрики ρ и ρ∗ не являются эквивалентными. # зывают пределом последовательности {xn}∞ в том случае, если limn→∞ → ρ x, или lim Элемент x ∈ X, где (X, ρ) — метрическое пространство, наn=1 ⊂ X по метрике ρ n=1 называют сходящейся к элементу x по метрике ρ и используют обозначение xn − ρ(xn,x) = 0. <...> Таким образом, для любых x, y ∈ Rn верно неравенство В метрическом пространстве (X, ρ) открытым шаром с ценназывают множество K(a, r) = {x ∈ X: ρ(a,x)  r}. <...> Множество A ⊂ X называют ограниченным, если его можно ждой точкой a ∈ A оно содержит и некоторый шар K(a, r), т. е. заключить в некоторый шар (открытый или замкнутый). <...> Точку a ∈ X называют предельной точкой множества A ⊂ X, если в любом шаре K(a, r) найдется точка x ∈ A и x = A. <...> Метрическое пространство (X, ρ) называют сепарабельным, ждом шаре K ⊂ X содержится другой шар K1, не содержащий точек из A. <...> Множество A ⊂ X называют нигде не плотным вX, если в каМножество A ∪ A называют замыканием множества A и обоA в том случае, если существует такой шар K(a, r), что тром в точке a ∈ X и радиусом r > 0 называют множество <...>