Рассмотрен математический аппарат, применяемый в теории дискретных систем автоматического управления: элементы теории разностных уравнений, дискретное преобразование Лапласа, его связь с преобразованием Лапласа непрерывных функций. <...> МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ При составлении математических моделей, а также при решении задач анализа и синтеза дискретных систем автоматического управления (САУ) широкое применение находят такие разделы высшей математики, как теория разностных уравнений и дискретное преобразование Лапласа. <...> В первой главе пособия изложены необходимые сведения по теории линейных разностных уравнений как с переменными, так и с постоянными коэффициентами, рассмотрены дискретное преобразование Лапласа, его свойства и использование дискретного преобразования Лапласа для решения разностных уравнений. <...> Даны сведения о преобразовании, связывающем изображения непрерывных и соответствующих им дискретных функций (Dпреобразование). <...> Разностные уравнения Дискретная, или решетчатая, функция — это функция, которая отлична от нуля для дискретных равноотстоящих друг от друга значений аргумента. <...> Если имеется некоторая непрерывная функция x(t), то, положив t = nT, получим соответствующую ей дискретную функцию x[nT]. <...> Если перейти к относительному времени τ, то смещенная дискретная функция (рис. <...> Восходящая разность k-го порядка ∇kx[n, ε] следующим образом выражается через значения функции x[n, ε]: ∇kx[n, ε] = m=0 k (−1)mCm 8 k x[n−m, ε]. <...> Неоднородная система линейных разностных уравнений с переменными коэффициентами имеет вид xi[n+1] = j=1 k aij[n]xj[n]+fi[n] (i = 1, 2, . . . , k), или в векторной форме x[n+1] = A[n]x[n]+f[n]. разностных уравнений с переменными коэффициентами x[n+1] = A[n]x[n]. <...> Если известна фундаментальная матрица решений X[n,n0], то решение задачи Коши для однородной системы (1.23) определяется формулой x[n] =X[n,n0]x0. ства 1: (1.29) Докажем это. <...> Фундаментальная матрица решений удовлетворяет <...>
Теория_дискретных_систем_автоматического_управления.pdf
УДК 517(075.8)
ББК 22.176
И20
Рецензенты: В. Л. Афонин, Б. И. Шахтарин
И20
Иванов В. А.
Теория дискретных систем автоматического управления :
учеб. пособие : В 2 ч. – ч. 1 / В. А. Иванов, М.А. Голованов –
М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2010. – 100 с. : ил.
Рассмотрен математический аппарат, применяемый в теории дискретных
систем автоматического управления: элементы теории разностных
уравнений, дискретное преобразование Лапласа, его связь
с преобразованием Лапласа непрерывных функций. Дано определение
математических моделей дискретных автоматических систем.
Рассмотрены понятия передаточных функций и частотных характеристик
дискретных систем, а также способы их определения. Изложены
методы анализа дискретных систем.
Для студентов, изучающих курс «Теория автоматического управления».
УДК
517(075.8)
ББК 22.176
Учебное издание
Иванов Виктор Александрович
Голованов Михаил Алексеевич
ТЕОРИЯ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Часть 1
Редактор О.М. Королева
Корректор
Компьютерная верстка В.И. Товстоног
Подписано в печать 14.07.2010. Формат 60×84/16.
Усл. печ. л. 5,8. Тираж 300 экз. Изд. № 85.
Заказ
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.
-МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010
c
Стр.2
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Математический аппарат теории дискретных систем автоматического
управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1. Дискретные функции. Разностные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1. Дискретные функции. Конечные разности и суммы. . . 3
1.1.2. Разностные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.3. Системы линейных разностных уравнений. Формула
Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.4. Линейные разностные уравнения k-го порядка . . . . . . . 19
1.1.5. Системы линейных разностных уравнений с постоянными
коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.1.6. Линейные разностные уравнения k-го порядка с постоянными
коэффициентами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2. Дискретное преобразование Лапласа (D-преобразование) . . . 37
1.2.1. Функции-оригиналы. Формула обращения . . . . . . . . . . . 37
1.2.2. Свойства дискретного преобразования Лапласа. . . . . . . 41
1.2.3. Применение дискретного преобразования Лапласа
для решения разностных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.3. Связь между изображениями непрерывной и соответствующей
ей дискретной функции. (D-преобразование) . . . . . . . . . . . . . . 54
1.3.1. Прямое и обратное D-преобразование . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.3.2. Свойства D-преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.3.3. Теорема Котельникова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2. Уравнения дискретных систем автоматического управления. Передаточные
функции. Частотные характеристики. . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.1. Уравнения дискретных линейных систем автоматического
управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.1.1. Уравнения дискретных систем автоматического
управления с одним входом и выходом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
99
Стр.99
2.1.2. Уравнения многомерных линейных дискретных систем
автоматического управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.2. Передаточные функции дискретных линейных систем
автоматического управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.2.1. Передаточные функции дискретных систем автоматического
управления с одним входом и выходом . . . . . . . . . . . . 77
2.2.2. Передаточные функции многомерных дискретных
систем автоматического управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.2.3. Свойства передаточных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.2.4. Процессы в дискретных системах автоматического
управления при типовых воздействиях. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.3. Частотные характеристики дискретных линейных систем
автоматического управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.3.1. Частотные характеристики. Их свойства . . . . . . . . . . . . . 90
2.3.2. w-Преобразование. Логарифмические частотные
характеристики дискретных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Стр.100
Теория_дискретных_систем_автоматического_управления_(2).pdf
УДК 517(075.8)
ББК 22.176
И20
Рецензенты: В.Л. Афонин, Б.И. Шахтарин
И20
Иванов В.А.
Теория дискретных систем автоматического управления :
учеб. пособие : в 2 ч. – Ч. 2 / В.А. Иванов, М.А. Голованов. —
М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. — 98, [2] с. : ил.
Исследована устойчивость линейных дискретных систем автоматического
управления (САУ), рассмотрены алгебраические и частотные
критерии устойчивости, а также метод синтеза дискретных САУ с
использованием логарифмических частотных характеристик (построение
желаемых частотных характеристик, реализация последовательных
и параллельных корректирующих устройств). Достаточно подробно
изложен метод пространства состояний для дискретных САУ.
Приведены способы определения уравнений состояний дискретных
САУ с одним входом и одним выходом, критерии управляемости и
наблюдаемости как для нестационарных, так и для стационарных линейных
дискретных систем. Описана процедура синтеза модального
управления и рассмотрено построение наблюдающих устройств полного
и неполного порядка.
Для студентов, изучающих курс «Теория автоматического управления».
УДК
517(075.8)
ББК 22.176
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012
c
Стр.2
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ..... 3
1.1. Устойчивость движения по Ляпунову ...................... 3
1.1.1. Основные понятия и определения ................... 3
1.1.2. Теоремы Ляпунова об устойчивости и неустойчивости 5
1.1.3. Исследование устойчивости по уравнениям линейного
приближения ....................................... 9
1.2. Устойчивость линейных дискретных САУ.................. 14
1.2.1. Устойчивость однородной системы .................. 14
1.2.2. Устойчивость неоднородной системы................ 16
1.2.3. Устойчивость линейных систем с постоянными
коэффициентами.................................... 17
1.2.4. Алгебраические критерии устойчивости ............. 19
1.2.5. Частотные критерии устойчивости .................. 23
2. ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ
ДИСКРЕТНЫХ САУ........................................... 27
2.1. Анализ линейных дискретных САУ ....................... 27
2.1.1. Анализ устойчивости и точности с помощью ЛЧХ. . . 27
2.1.2. Коэффициенты ошибки ............................ 29
2.2. Синтез линейных дискретных САУ . . ..................... 33
2.2.1. Требования к синтезируемой системе ............... 33
2.2.2. Построение желаемой ЛЧХ ........................ 38
2.2.3. Синтез корректирующих устройств.................. 40
3. МЕТОД ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ В ТЕОРИИ
ДИСКРЕТНЫХ САУ........................................... 51
3.1. Уравнения состояния. . .................................... 51
98
Стр.98
3.1.1. Основные понятия метода пространства состояний . . 51
3.1.2. Определение уравнений состояния для САУ с одним
входом и одним выходом по разностному
уравнению.......................................... 52
3.1.3. Определение уравнений состояния дискретной САУ
c одним входом и одним выходом по передаточной
функции системы . . ................................. 57
3.2. Управляемость и наблюдаемость дискретных САУ ......... 71
3.2.1. Управляемость линейных дискретных САУ. Критерии
управляемости ..................................... 71
3.2.2. Наблюдаемость линейных дискретных САУ. Критерии
наблюдаемости ..................................... 74
3.2.3. Двойственность управляемости и наблюдаемости . . . 81
3.3. Модальное управление в линейных дискретных САУ....... 83
3.3.1. Синтез модального управления для дискретных САУ 83
3.3.2. Уравнения наблюдающих устройств полного
и неполного порядка ................................ 88
Литература ...................................................... 97
Стр.99