В данном учебном пособии приведены основные формулировки одномерных, двухмерных, осесимметричных и трехмерных задач теории упругости и рассмотрены особенности построения матричных выражений при решении указанных задач с помощью МКЭ. <...> При этом известно, что каждому симметричному тензору 2-го ранга Tt ee (рассматривается декартова прямоугольная си= ⊗ ij i j стема координат; по повторяющимся латинским индексам прово4 ; дится суммирование от 1 до 3, а по греческим — нет) можно поставить в соответствие шестимерный вектор Pe Такое соот= pii . ветствие можно установить с помощью замены пар индексов ij ,1 ), 3 ( ij = одним индексом α правилу: p 111,t= 222, ( p t= 333, p t= 513, p t= p t= 412, p t= 623. <...> Под конечным элементом будем понимать объект (),e характеризуемый занимаемой им в евклидовом пространстве Ε замкнутой областью V (),e координатами узлов () циями вида xp V∈ () e ϕ= ϕ ⎡⎤{}() () () () ∑NN , ee e pp M e xx (1.1) p=1 () () ( )ee =⎣⎦ ϕ где ϕ e x — интерполируемая в замкнутой области () V e Ε⊂ () ( ) функция; () M e — число узлов конечного элемента ( );e () кальный) узла конечного элемента ( );e узлах конечного элемента ( ),e ϕ=ϕ x {} ⎨ () pp () () ; e ( ) () e ee ϕ= ϕ ⎪ ⎪ ⎧ϕ ⎫ ⎪ () 1 () 2 e e ⎪ ⎪ () e M() e ⎪ ⎬ ϕ ⎪ ⎩⎭ ⎪ – вектор-столбец, составленный из узловых значений ();e ϕp Np x () () . e e ) ⎡N e ⎤ ⎣ () ⎦ — матрица (строка), составленная из значений функций формы ( 6 Np x – достаточно глад() ( ) e кие линейно независимые функции, везде далее называемые функциями формы конечного элемента ( );e ϕp – значения функции в () e e — идентификационная метка конечного элемента; p — номер (ло() e и интерполяционными функ Из формулы (1.1) следуют очевидные свойства функций формы: 1) ∀= ∈x 2) N () ⎨ pq M() ee pq x ,1, M e () p =1∑ xx e () =∀ ∈ () NV . p e () 1 M e () p=1 ∑ x ,= 0, где <...>
Решение_задач_теории_упругости_методом_конечных_элементов.pdf
УДК 519.3(075.8)
ББК 22.161.8
К73
Рецензенты: С.А. Агафонов, Ю.М. Темис
К73
Котович А.В.
Решение задач теории упругости методом конечных
элементов : учеб. пособие / А.В. Котович, И.В. Станкевич.
– М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. – 106, [6] с. : ил.
ISBN 978-5-7038-3567-8
Приведены формулировки квазистационарных краевых задач
теории упругости. Рассмотрены основные особенности построения
численного решения этих задач с помощью метода конечных элементов.
Для
студентов 4-го курса факультета ФН МГТУ им. Н.Э. Баумана,
изучающих курс «Основы сеточных методов» и выполняющих
курсовой проект по дисциплине «Математические модели
технических систем». Может быть полезным студентам старших
курсов других факультетов, изучающим численные методы решения
краевых задач.
Работа выполнена по гранту поддержки ведущих научных
школ № НШ-4046.2010.8.
УДК 519.3(075.8)
ББК 22.161.8
ISBN 978-5-7038-3567-8
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012
Стр.2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ........................................................................................... 3
1. Понятие конечного элемента ...................................................... 6
2. Простейшие конечные элементы ............................................... 12
2.1. Одномерные задачи .............................................................. 12
2.2. Двухмерные задачи .............................................................. 17
2.3. Трехмерные задачи ............................................................... 23
3. Решение одномерных задач теории упругости ......................... 29
4. Решение двухмерных задач теории упругости ......................... 45
5. Решение осесимметричных задач теории упругости ............... 63
6. Решение трехмерных задач теории упругости ......................... 83
7. Учет кинематических граничных условий ................................ 101
Литература ........................................................................................ 108
109
Стр.109