О новом подходе в методе функций Грина при решении краевых задач Дирихле и Неймана
УДК 536.2.001.24
О новом подходе в методе функций Грина
при решении краевых задач Дирихле и Неймана
для уравнения Лапласа
© Э.М. Карташов
Московский государственный университет тонких химических
технологий им. <...> М.В. Ломоносова, Москва, 119571, Россия
Описан новый подход в методе функций Грина при решении краевых задач Дирихле
и Неймана для уравнения Лапласа на плоскости. <...> В основе метода лежит построение «усеченной» функции Грина, что является достаточным для записи аналитического решения задачи. <...> Ключевые слова: уравнение Лапласа на плоскости, задачи Дирихле и Неймана,
функция Грина, интегральные записи аналитических решений. <...> Уравнения эллиптического типа, к которому относится уравнение Лапласа, играют важную роль в приложениях. <...> К ним
приводят задачи о потенциальном движении несжимаемой жидкости,
потенциале электростатического поля, стационарных тепловых и
диффузионных процессах, потенциальном поле тяготения, а также
задачи аэромеханики, теории упругости, электромагнетизма, дифракции и др. <...> Они детально разобраны в многочисленных руководствах по математической физике, в монографиях по теории ньютоновского потенциала, публикациях, касающихся
применения соответствующих интегральных соотношений к изучению конкретных физических процессов. <...> Для нахождения точных
решений указанных задач существуют различные аналитические
подходы, в основе которых лежат: теория потенциала и метод интегральных уравнений, метод отражения, метод конформных отображений, метод разделения переменных, метод интегральных преобразований, основанный на теории спектральных задач, метод разложения искомого решения в соответствующие ряды, функции единичных
источников и диполей [1–5]. <...> И как это ни странно, но в столь, казалось, завершенной области математической физики еще остались
«математические резервы» для переосмысления основ некоторых <...>