УДК 517.95
Теорема типа Фрагмена — Линделефа для нелинейных
эллиптических уравнений высокого порядка
c Г.В. Гришина <...> a (𝑎ab (𝑥)|𝐷𝑚 𝑢|𝑝−2 𝐷b 𝑢) = 0,
𝑝 > 1.
|a|=|b|=𝑚
Получены интегральные оценки решения на бесконечности при условии выполнения
однородных условий Неймана на боковой части границы цилиндра. <...> Ключевые слова: нелинейное эллиптическое уравнение, однородные условия
Неймана, интегральные оценки решений. <...> Впервые вопрос о поведении решения 𝑢(𝑥) линейного эллиптического уравнения высокого порядка <...> a (𝑥)𝐷a 𝑢(𝑥) = 0
|a|=2𝑚
в цилиндре при заданных нулевых условиях Дирихле на боковой границе цилиндра был исследован П.Д. Лаксом [1]. <...> Изучению поведения решений в неограниченных областях и их гладкости как для линейных, так и для нелинейных эллиптических уравнений посвящены
многие работы, например [2–7]. <...> Предположим, что коэффициенты 𝑎ab (𝑥) — действительные ограниченные измеримые функции такие, что ∀𝑥 ∈ 𝐻 и ∀x ∈ R𝑁 , где 𝑁 —
1 <...> Г.В. Гришина
число мультииндексов порядка 𝑚 длины 𝑛, выполнены неравенства <...> n > 0, m > 0.
|a|=|b|=𝑚
Введем некоторые обозначения и дадим определение обобщенного
решения уравнения (1).
𝑚, 𝑝
(𝐻) обозначим пространство функций, принадлежаЧерез 𝑊𝑙𝑜𝑐
𝑚, 𝑝
щих классу 𝑊 (𝐻 ∩ {|𝑥| > 𝑅}) ∀𝑅 > 0. <...> Символ 𝑊0𝑚, 𝑝 (𝐻, G1 ) —
пополнение по норме ‖·, 𝑊 𝑚, 𝑝 (𝐻)‖ пространства функций из 𝐶 ∞ (𝐻),
обращающихся в нуль в окрестности части границы G1 ⊆ 𝜕𝐻 и имеющих компактный носитель в области 𝐻.
𝑚, 𝑝
Определение. <...> Функция 𝑢(𝑥) ∈ 𝑊𝑙𝑜𝑐
(𝐻) называется обобщенным
решением уравнения (1), удовлетворяющим на части G границы 𝜕𝐻
области 𝐻 однородному условию Неймана, если ∀y ∈ 𝑊0𝑚, 𝑝 (𝐻, 𝜕𝐻∖ G)
справедливо интегральное тождество <...> Сформулируем основной результат настоящей работы.
𝑚, 𝑝
Теорема 1. <...> Пусть 𝑢(𝑥) ∈ 𝑊𝑙𝑜𝑐
(𝐻) — обобщенное решение уравнения (1) в области 𝐻, удовлетворяющее на боковой границе цилиндра G = 𝜕𝐻 ∩ {0 < 𝑥𝑛 < ∞} однородному условию Неймана. <...> 2
Теорема типа Фрагмена <...>