ISBN 978-5-8397-0872-3 Пособие обеспечивает задачным материалом следующие разделы математики: «Элементы теории множеств», «Элементы математической логики», «Теория вероятностей», включая изучение случайных величин, «Некоторые вопросы алгебры», «Элементы математического анализа», «Элементы математической статистики», «Вопросы математического моделирования». <...> В книге отражены следующие разделы: «Элементы теории множеств», «Элементы математической логики» с приложениями, «Теория вероятностей», включая изучение случайных величин, «Некоторые вопросы алгебры», «Элементы математического анализа», «Элементы математической статистики», «Аксиоматический метод построения теорий», «Вопросы математического моделирования». <...> Примерами множеств могут служить множество адвокатов в некоторой юридической консультации, множество дел, рассмотренных каким-либо судом за предыдущий месяц, множество действительных чисел. <...> Множество можно задать словесным описанием его элементов, например: а) множество действительных чисел; б) множество правонарушений в Ярославской области за 2000 год; в) множество студентов Ярославского госуниверситета. <...> Например, множество mmnn / целое число, натуральное число – множество рациональных чисел. <...> Свойство считается характеристическим для элементов множества, если этому множеству принадлежат те и только те элементы, которые обладают данным свойством. <...> Говорят, что два множества равны ( A B ), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть если все элементы одного множества являются и элементами другого. <...> Множество B называется подмножеством множества A (обозначение B A ), если каждый элемент множества B является элементом множества A. <...> Для пояснения различных соотношений между множествами и свойств операций над ними используют диаграммы Эйлера – Венна. <...> 6. а) Укажите виды правонарушений по степени общественной опасности и представьте множество правонарушений <...>
Математика_для_студентов_гуманитарных_направлений_учебное_пособие.pdf
Министерство науки и образования Российской Федерации
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
В. А. Кузнецова
Л. Б. Медведева
Математика
для студентов
гуманитарных направлений
Учебное пособие
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета
для студентов, обучающихся по гуманитарным направлениям
Ярославль 2012
1
Стр.1
УДК 51:1/3(075)
ББК В1я73
К89
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2012 года
Рецензенты:
А. В. Ястребов, доктор педагогических наук, профессор,
заведующий кафедрой теории и методики обучения математике
ЯГПУ им. К. Д. Ушинского;
кафедра высшей математики ЯГТУ
К89
Кузнецова, В. А. Математика для студентов гуманитарных
направлений: учебное пособие / В. А. Кузнецова,
Л. Б. Медведева; Яросл. гос. ун-т им. П. Г. Демидова. –
Ярославль : ЯрГУ, 2012. – 300 с.
ISBN 978-5-8397-0872-3
Пособие обеспечивает задачным материалом следующие
разделы математики: «Элементы теории множеств»,
«Элементы математической логики», «Теория вероятностей»,
включая изучение случайных величин, «Некоторые
вопросы алгебры», «Элементы математического анализа»,
«Элементы математической статистики», «Вопросы математического
моделирования». Предусмотрены задачи разного
уровня сложности. Перед каждой темой представлен
необходимый для решения задач теоретический материал.
Предназначено для студентов, обучающихся по гуманитарным
направлениям (дисциплины «Математика», «Математика
и статистика», «Высшая математика», цикл Б2,
блок ЕН), очной формы обучения.
УДК 51:1/3(075)
ББК В1я73
ISBN 978-5-8397-0872-3
Ярославский государственный
университет им. П. Г. Демидова,
2012
2
Стр.2
Оглавление
Введение. Зачем нужна математика студентам
гуманитарных направлений? ........................................................ 3
1. Элементы теории множеств .......................................................... 8
1.1. Множества и операции над ними .......................................... 8
1.2. Конечные множества ............................................................ 16
1.3. Числа и операции над ними. Системы счисления ............ 34
1.4. Взаимно однозначные и биективные соответствия.
Равномощные множества ..................................................... 46
1.5. Задачи на проценты .............................................................. 51
2. Элементы математической логики ............................................. 59
2.1. Формулы алгебры высказываний. Высказывания
и операции над ними ............................................................ 59
2.2. Некоторые приложения алгебры высказываний ............... 70
2.3. Предикаты ............................................................................. 90
3. Элементы математического анализа ........................................ 101
3.1. Функции. Элементарные функции .................................... 101
3.2. Предел функции .................................................................. 113
3.3. Производная и некоторые ее применения ........................ 123
3.4. Интегральное исчисление функции
одной переменной .............................................................. 133
3.5. Некоторые приложения определенного интеграла ......... 141
4. Некоторые вопросы алгебры .................................................... 145
4.1. Матрицы и определители ................................................... 145
4.2. Матричная алгебра в решении задач
с экономическим содержанием ......................................... 156
4.3. Применение матриц в теории игр ..................................... 159
4.4. Системы линейных уравнений .......................................... 168
296
Стр.296
5. Элементы теории вероятностей ................................................ 181
5.1. Cлучайные события и операции над ними ....................... 181
5.2. Алгебра событий. Вероятности суммы
и произведения событий .................................................... 188
5.3. Полная группа событий.
Формула полной вероятности ........................................... 194
5.4. Случайные величины ......................................................... 197
6. Элементы математической статистики .................................... 209
6.1. Вариационные ряды и их графическая интерпретация ... 209
6.2. Количественные характеристики вариационного ряда ... 213
6.3. Понятие оценки параметров. Точечная оценка ................ 217
6.4. Интервальные оценки. Доверительный интервал ............ 223
6.5. Применение метода наименьших квадратов
для обработки результатов наблюдений .......................... 229
7. Аксиоматический метод. Общие вопросы ............................... 234
8. Применение математического моделирования
к решению некоторых практических задач ............................. 243
8.1. Задача линейного программирования ............................... 244
8.2. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики ............. 252
8.3. Линейная модель обмена
(модель международной торговли) ................................... 255
8.4. Модель задачи из теории массового обслуживания ........ 257
Ответы......................................................................................... 262
Литература .................................................................................. 281
Приложения ................................................................................ 284
297
Стр.297