П. Г. Демидова Кафедра дискретного анализа В. Б. Калинин Линейная алгебра Методические указания Рекомендовано Научно-методическим советом университета для студентов, обучающихся по специальности Прикладная математика в экономике Ярославль 2011 УДК 512 ББК В 143я73 К 17 Рекомендовано Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного издания. <...> П. Г. Демидова К 17 Калинин, В. Б. Линейная алгебра: методические указания / В. Б. Калинин; Яросл. гос. ун-т им. <...> Методические указания содержат набор задач по следующим темам: линейные пространства, билинейные и квадратичные формы, линейные операторы. <...> Написать уравнение плоскости, проходящей через эту прямую и параллельной оси Оz. <...> Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (1, 2, 3), параллельной прямой х=у=z и отсекающей на осях 0х и 0у равные отрезки. <...> Поскольку плоскость параллельна прямой х=у=z, один направляющий вектор уже есть. <...> А так как плоскости принадлежит вектор, отсекающий на 0х и 0у равные отрезки, вторым направляющим вектором будет, очевидно, (–t, t, 0). <...> Составить уравнение плоскости, проходящей через ось 0у и равноудаленной от точек (2, 7, 3) и (–1, 1, 0). <...> Установить, какие из следующих пар прямых скрещиваются, параллельны, пересекаются или совпадают; если прямые параллельны, то написать уравнение плоскости, через них проходящей; если прямые пересекаются, то написать уравнение содержащей их плоскости и найти их общую точку. <...> Установить, какие из следующих пар прямых скрещиваются, параллельны, пересекаются или совпадают; если прямые параллельны, то написать уравнение плоскости, через них проходящей; если прямые пересекаются, то написать уравнение содержащей их плоскости и найти их общую точку. <...> В элемент a [i, j] матрицы будем заносить длину максимальной стороны квадрата из единиц, у которого элемент (i, j) есть верхний левый угол (очевидно, что если a [i, j] = 0, то квадрат построить нельзя). <...> Если же a [i, j] = 1, то для того, чтобы найти максимальный размер квадрата <...>
Линейная_алгебра_методические_указания.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Кафедра дискретного анализа
В. Б. Калинин
Линейная алгебра
Методические указания
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета для студентов,
обучающихся по специальности Прикладная математика
в экономике
Ярославль 2011
Стр.1
УДК 512
ББК В 143я73
К 17
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2010/2011 учебного года
Рецензент
кафедра дискретного анализа
Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова
К 17
Калинин, В. Б. Линейная алгебра: методические
указания / В. Б. Калинин; Яросл. гос. ун-т им. П. Г. Демидова.
– Ярославль : ЯрГУ, 2011. – 52 с.
Методические указания содержат набор задач по следующим
темам: линейные пространства, билинейные и
квадратичные формы, линейные операторы. Типовые задачи
приведены с решениями, это позволит более
эффективно использовать различные формы самостоятельной
роботы и поможет студентам хорошо подготовиться
к зачету и экзамену.
Предназначены для студентов, обучающихся по специальности
080801.65 Прикладная математика в экономике
(дисциплина «Линейная алгебра», блок ЕН),
очной формы обучения.
УДК 512
ББК В 143я73
Ярославский государственный
университет им. П. Г. Демидова,
2011
2
Стр.2
Плоскость и прямая в пространстве
1. Дана точка А (3, 5, 7).
1) составить уравнения плоскостей, проходящих через точку
А и параллельных координатным плоскостям;
2) составить уравнения прямых, проходящих через точку А и
параллельных осям координат;
3) составить уравнения плоскостей, проходящих через точку
А и через оси координат;
4) составить уравнение прямой, проходящей через точку А и
начало координат. Система координат аффинная.
2. В пространстве дана прямая х/2 = y/3 = 5. Найти направляющий
вектор этой прямой. Система координат аффинная.
3. Составить уравнение прямой, отсекающей на осях Ох и Оу
отрезки, соответственно равные 2 и 3. Написать уравнение плоскости,
проходящей через эту прямую и параллельной оси Оz.
Система кординат аффинная.
4. Даны точки пересечения прямой с двумя координатными
Вычислить координаты точки
плоскостями (0, y z 0, zy
1,
1),(
2 ,
2).
пересечения этой же прямой с третьей координатной плоскостью.
Система координат аффинная.
5. Найти ортогональные проекции прямой
x x
a
0
y y
b
0 z
z
c
на координатные плоскости 0ху, 0хz, 0xy. Система координат
прямоугольная.
6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
(1, 2, 3), параллельной прямой х=у=z и отсекающей на осях 0х и
0у равные отрезки. Система координат аффинная.
Решение. Поскольку плоскость параллельна прямой х=у=z,
один направляющий вектор уже есть. Это вектор (1, 1, 1). А так
как плоскости принадлежит вектор, отсекающий на 0х и 0у
равные отрезки, вторым направляющим вектором будет,
очевидно, (–t, t, 0). Сократив на t, получим (–1, 1, 0). Параметрическое
уравнение плоскости будет иметь вид:
X = 1 + u – v
Y = 2 + u + v
Z = 3 + u.
3
0
Стр.3
Исключив t и u, получим искомый ответ: x + y – 2z + 3 = 0.
7. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось 0у
и равноудаленной от точек (2, 7, 3) и (–1, 1, 0).
Система координат аффинная.
8. Даны вершины тетраэдра: А = (2, 1, 0), В = (1, 3, 5),
С = (6, 3, 4), D=(0, –7, 8). Написать уравнение плоскости, проходящей
через прямую АВ и равноудаленной от вершин С и D.
9. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
х = 2 + 3t, y = –1 + 6t, z = 4t и коллинеарной прямой
х = –1 + 2t, y = 3t, z = –t. Система координат аффинная.
10. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
(–2, 3, 0) и через прямую х = 1, y = 2 + t , z = 2 – t.
11. Показать, что прямые х = 1 +2t, y = 2t , z = t и х = 11 + 8t,
y = 6 + 4t , z = 2 + t пересекаются и написать уравнение биссектрисы
тупого угла между ними. Система координат прямоугольная.
z
12. Составить уравнение проекции прямой
x
y
2
3
1
2
1
из
точки (1, 2, 1) на плоскость y – 2z + 4 = 0. Система координат
аффинная.
13. Найти условия, необходимые и достаточные для того,
чтобы плоскость Ax + By + Cz + D = 0 : 1) пересекала ось Oz;
2) была параллельна ей; 3) проходила через ось Oz. Система
координат аффинная.
14. Установить в каждом из следующих случаев, лежит ли
данная прямая в данной плоскости, параллельна плоскости или
пересекает ее; в последнем случае найти точку пересечения
прямой и плоскости
x
z
y
п р я м а я
12
9
4
1
2
x
13
1
3
x
y
3
4
z
y
8
x
7
5
2
4
1
3
4
1
z
3
z
y
4
4
+ 1 = 0
5
3x – 3y + 2z – 5 = 0
x + 2y – 4z
3x – y + 2z – 5 = 0
1
п л о с к о с т ь
3x + 5y – z – 2 = 0
Стр.4
15. Установить в каждом из следующих случаев, лежит ли
данная прямая в данной плоскости, параллельна плоскости или
пересекает ее; в последнем случае найти точку пересечения прямой
и плоскости.
3 5 7 16 0
x y z
y
x
п р я м а я
y
z
2 3 6 10 0
x y z
2
x
z
5 0
6 0
п л о с к о с т ь
5x – z – 4 = 0
y +4z +17 =0
Решение. Меняя местами первое и второе уравнение, приводим
матрицу к специальному ступенчатому виду:
236 |10
111| 5
014 | 20
111 | 5
10 3 | 25
014 | 20
.
Получаем параметрическое уравнение прямой:
X = –25 + 3 t
Y = 20 – 4t
Z = t.
Подставляя его в уравнение плоскости, получаем:
(20 – 4t) + 4t + 17 0, т. е. прямая параллельна плоскости.
x
5 3y z
x
2y
3 8 0
z
16 0
2x – y – 4z – 24 = 0.
16. Установить, какие из следующих пар прямых скрещиваются,
параллельны, пересекаются или совпадают; если прямые
параллельны, то написать уравнение плоскости, через них
проходящей; если прямые пересекаются, то написать уравнение
содержащей их плоскости и найти их общую точку.
1)
2)
x 1 2 ,t y t
x 6 3 ,t y 1 2 ,t z t
x 1 2 ,t y 2 2 ,t z t;
x 2 ,t y 5 3 ,t z 4;
5
7 ,t z
3 4 ;
2 ;
Стр.5