В. А. Койбаев
ПОДГРУППЫ ГРУППЫ GL(2, k),
СОДЕРЖАЩИЕ НЕРАСЩЕПИМЫЙ ТОР
Владикавказ
2009
ББК 22.144
УДК 512; 519.46
К 59
Ответственный редактор
член-корреспондент РАН А. А. <...> Нормализатор полной линейной группы,
связанной с промежуточным подполем . <...> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
181
ПРЕДИСЛОВИЕ
Памяти Зенона Ивановича Боревича
За последние десятилетия значительное развитие получило
направление, связанное с описанием подгрупп линейных групп
и групп Шевалле над полем и кольцом, содержащих фиксированную подгруппу. <...> При
этом линейные группы изучаются в самых различных аспектах: как абстрактные группы, как алгебраические группы, как
группы матриц и т. д. <...> В работе Е. Л. Башкирова [5] исследуются линейные группы, содержащие квадратичные унипотентные элементы над произвольным телом. <...> Я. Н. Нужина [128] описаны промежуточные подгруппы всех
групп лиева типа, когда основное поле является алгебраическим расширением меньшего. <...> В серии работ [48, 131, 148, 157]
изучались максимальные подгруппы в линейных группах и
группах Шевалле. <...> Еще одно направление в изучении линейных групп —
это описание надгрупп некоторой фиксированной подгруппы. <...> Классическим результатом такого рода является описание параболических подгрупп, полученное Ж. <...> В
частности, из проведенных ими исследований вытекало описание алгебраических подгрупп полной линейной группы G =
GL(n, k), содержащих группу диагональных матриц D(n, k)
(для алгебраически замкнутого поля k). <...> Этот результат Бо-
Введение
9
реля — Титса был значительно усилен З. И. Боревичем [15] в
1976 г. Как выяснилось, для любого поля k все промежуточные
подгруппы H, D(n, k) 6 H 6 GL(n, k), являются алгебраическими, решетка Lat(T, G) промежуточных подгрупп конечна и
не зависит от поля k, если только card k > 7. <...> Боревича [15] дала мощный
импульс в изучении подгрупп, содержащих группу диагональных матриц (расщепимый максимальный тор). <...> С одной стороны велась работа по перенесению результатов с полной линейной группы на классические линейные группы <...>
Подгруппы_группы_GL(2,k),_содержащие_нерасщепимый_тор.pdf
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
ВЛАДИКАВКАЗСКИЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР
ЮЖНЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
ИТОГИ НАУКИ • ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ОКРУГ
С Е Р И Я
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОНОГРАФИЯ
В. А. Койбаев
ПОДГРУППЫ ГРУППЫ GL(2, k),
СОДЕРЖАЩИЕ НЕРАСЩЕПИМЫЙ ТОР
Владикавказ
2009
Стр.1
ББК 22.144
УДК 512; 519.46
К 59
Ответственный редактор
член-корреспондент РАН А. А. Махнев
Рецензенты
доктор физико-математических наук Н. С. Романовский,
доктор физико-математических наук Я. Н. Нужин
Mathematics Subject Classification(2000): 20G15.
Койбаев В. А.
Математическая монография. Подгруппы группы GL(2, k),
содержащие нерасщепимый тор / В. А. Койбаев; [отв. ред.
А. А. Махнев]; Южный математический институт ВНЦ РАН
и РСО-А.—Владикавказ: ВНЦ РАН, 2009.—183 с.—(Итоги науки.
ЮФО).—ISBN 978-5-93000-059-7.
В монографии излагаются вопросы расположения подгрупп в линейных
группах, содержащих фиксированную подгруппу. Подробно исследуется
структура подгрупп полной линейной группы степени 2 над полем,
содержащих нерасщепимый тор. Особое внимание уделено изучению класса
подколец основного поля, определяющих структуру промежуточных
подгрупп.
Для специалистов в области алгебры, аспирантов и студентов старших
курсов математических факультетов университетов.
ISBN 978-5-93000-059-7
Южный математический институт
ВНЦ РАН и РСО-А, 2009
c
Койбаев В. А., 2009
c
Стр.2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Краткое содержание книги . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Глава 1. Общие вопросы расположения подгрупп . 28
§ 1. Сети и сетевые группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
§ 2. Веерные подгруппы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
§ 3. Граф нормальности решетки промежуточных
подгрупп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Глава 2. О подгруппах группы GL(n, k), содержащих
нерасщепимый максимальный тор. . . . . 38
§ 1. Общая постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
§ 2. Факторизация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
§ 3. Нормализатор полной линейной группы,
связанной с промежуточным подполем . . . . . . . . . . . 42
§ 4. Реализация группы автоморфизмов,
возникающая при расширении полей . . . . . . . . . . . . . 47
§ 5. Гирлянды, содержащие полную линейную
группу над промежуточным полем . . . . . . . . . . . . . . . 50
§ 6. Трансвекции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
§ 7. Существование подгрупп, принадлежащих
данному кольцу множителей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
§ 8. Максимальные нетривиальные промежуточные
подгруппы группы GL(n,Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Глава 3. Подгруппы группы GL(2, k), содержащие
нерасщепимый максимальный тор. . . . . . . . . . . . . 80
§ 1. Кольца множителей, связанные
c промежуточными подгруппами . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Стр.3