Ш. С. Хубежты
КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
И НЕКОТОРЫЕ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
Владикавказ
2011
ББК 22.193
УДК 519.64
K 98
Ответственный редактор <...> Также представлены результаты по
точным методам вычисления указанных интегралов. <...> Квадратурные формулы для сингулярных интегралов
с наперед заданными узлами . <...> Равномерные оценки погрешности для сингулярных
интегралов с весами Якоби . <...> Квадратурные формулы для сингулярных интегралов
с применением внешних узлов . <...> Квадратурные формулы для интегралов типа Коши
встречающихся в формулах для напряжений и
смещений в задачах плоской теории упругости . <...> Квадратурные формулы для интегралов типа Коши
с весовыми функциями . <...> 3.6. О приближенном вычислении компонентов напряжений и смещений в задачах плоской теории
упругости . <...> 4.2. О численном решении некоторых задач методом обобщенных сингулярных интегральных уравнений . <...> Обоснование модифицированного метода дискретных
особенностей с применением внешних узлов к
решению сингулярных интегральных уравнений
I-го рода . <...> Численное решение сингулярных интегральных
уравнений I-го рода на отрезках при κ = ±1 . <...> Приложения к граничным задачам теории
функции, математической физики и теории упругости . <...> 5.1. О граничных задачах теории функций и математической физики . <...> 5.5. О численном решении некоторых задач теории
трещин методом дискретных особенностей . <...> Как известно, численное решение сингулярного
интегрального уравнения существенно зависит от точности аппроксимации сингулярного интеграла, содержащегося в этом уравнении. <...> Решение
многих граничных задач теории аналитических функций выражается через интегралы типа Коши с заданной плотностью или с неизвестными плотностями, для определения которых требуется решать
сингулярные интегральные уравнения. <...> Также
представлены результаты по точным методам вычисления указанных интегралов. <...> Автор выражает искреннюю благодарность профессору Д. Г. Саникидзе за ценные советы и большую <...>
Квадратурные_формулы_для_сингулярных_интегралов_и__некоторые_их_применения.pdf
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
ВЛАДИКАВКАЗСКИЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР
ЮЖНЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
И Т О Г И Н А У К И • Ю Г Р О С С И И
С Е Р И Я
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОНОГРАФИЯ
Вып у с к 3
Ш. С. Хубежты
КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
И НЕКОТОРЫЕ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
Владикавказ
2011
Стр.1
ББК 22.193
УДК 519.64
K 98
Ответственный редактор
д. ф-м. н, профессор Д. Г. Саникидзе
Рецензент
д. ф-м. н., профессор А. Ф. Матвеев
д. ф-м. н., профессор А. О. Ватульян
Хубежты Ш. С.
Квадратурные формулы для сингулярных интегралов и некоторые
их применения / отв. ред. Д. Г. Саникидзе.—Владикавказ:ЮМИ
ВНЦ РАН и РСО-А, 2011.—236 с.—(Итоги науки. Юг России. Математическая
монография. Вып. 3).
Монография посвящена построению квадратурных формул для сингулярных
интегралов и интегралов типа Коши. Также представлены результаты по
точным методам вычисления указанных интегралов. Основная цель автора —
дать в руки исследователей аппарат для вычисления интегралов типа Коши и
сингулярных интегралов, с помощью которых можно решать некоторые задачи
гидро- и аэродинамики, теории упругости, математической физики и т. д.
Книга может быть полезна всем, интересующимся методами приближенного
вычисления одномерных сингулярных интегралов с ядрами Коши и их приложениями
к численному решению уравнений, содержащих такие интегралы.
ISBN 978-5-904695-07-1
- Южный математический институт
ВНЦ РАН и РСО-А, 2011
c
- Ш. С. Хубежты, 2011
c
Стр.2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Глава 1. Элементы теории сингулярных интегралов.
Сингулярные интегральные уравнения. . . . . . . . . . . . . 13
1.1. Гладкие и кусочно-гладкие линии. Условие Г¨
ельдера . . 13
1.2. Интегралы типа Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3. Предельные значения интеграла типа Коши. Формулы
Сохоцкого — Племеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4. Сингулярные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5. Сингулярные интегральные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6. Теоремы Н¨
етера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Глава 2. Приближенное вычисление сингулярных
интегралов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1. Обзор некоторых результатов по аппроксимации
сингулярных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2. Метод дискретных особенностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3. Метод интерполяции плотностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов
с наперед заданными узлами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.5. Равномерные оценки погрешности для сингулярных
интегралов с весами Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.6. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов
с применением внешних узлов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.7. О квадратурных формулах для некоторых сингулярных
интегралов с негладкими плотностями . . . . . . . . . . . . 64
2.8. О приближенном вычислении некоторых криволинейных
интегралов с ядром Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.9. Квадратурные формулы Гаусса для сингулярного
интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.10. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов
и формулы обращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Стр.3