Л. И. Аверина, А. А. Лещинский
РАСПРОСТРАНЕНИЕ МОНОХРОМАТИЧЕСКИХ ВОЛН
В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ
Учебное пособие для вузов
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2011
Утверждено научно-методическим советом физического факультета 30 ноября 2010 года, протокол № 9
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доцент А. Н. Алмалиев
Учебное пособие подготовлено на кафедре электроники физического факультета Воронежского государственного университета. <...> Это свойство заключается
том, что
различные пространственно-временные спектральные составляющие волновых полей – плоские монохроматические волны – распространяются без
искажений и не взаимодействуют друг с другом. <...> Линейная среда представляет собой некоторую идеализированную
модель, и поэтому пользоваться ею для описания прохождения волн через
реальные среды можно не во всех случаях. <...> Применимость модели линейной
среды зависит в первую очередь от величины отношения амплитуды волны
к характерной величине
акустике
хар
хар ,
определяющей упругие свойства среды. <...> В линейной среде отношение /
хар
полагается бесконечно малым, в
результате чего волновое уравнение становится линейным: <...> Если же величину
/
хар
считать конечной, то в волновом уравнении
необходимо удержать нелинейные члены: <...> В простейшем случае, когда на вход среды падает монохроматическая волна
, нелинейность приводит к последовательному возбуждению
4
временных гармоник волны
, n = 2,3,4,…. <...> Сильное электромагнитное поле изменяет
оптические характеристики среды (показатель преломления, коэффициент
поглощения), которые становятся функциями напряжённости электрического поля
волны, т.е. поляризация среды нелинейно зависит от
напряжённости. <...> Параметр
/
хар
характеризует локальную нелинейность среды и
указывает порядок величины относительного нелинейного изменения амплитуд полей за один период колебаний
совершается
в
колебаний,
раз, т.е. составляет величину
. Если в течение <...>
Распространение_монохроматических_волн_в_нелинейных_средах.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
Л. И. Аверина, А. А. Лещинский
РАСПРОСТРАНЕНИЕ МОНОХРОМАТИЧЕСКИХ ВОЛН
В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ
Учебное пособие для вузов
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2011
Стр.1
Содержание
Введение ........................................................................................................... 4
1. Уравнения для нелинейных волн. Классификация нелинейных
эффектов ...................................................................................................... 6
2. Методы решения нелинейных уравнений в теории волн ..................... 13
3. Генерация второй гармоники ................................................................... 18
4. Распадная неустойчивость волн. Параметрическое усиление
и генерация ................................................................................................ 24
5. Самовоздействие волн. Нелинейная дисперсия
и нелинейное поглощение ........................................................................ 31
Литература ..................................................................................................... 35
3
Стр.3
в недиспергирующей недиссипативной среде на достаточно больших расстояниях
хар/ всегда возникают сильные нелинейные искажения
исходного профиля волны.
В случае среды с дисперсией фазовые скорости волн на различных
частотах различны, вследствие чего соотношения между фазами гармоник
изменяются в пространстве весьма быстро. При нарушении фазового синхронизма
нелинейные эффекты не накапливаются, и перекачка энергии
очень незначительна. Иными словами, в диспергирующих средах заметных
искажений форм волны не происходит. Изучение синхронных взаимодействий
волн наибольшее значение имеет в электродинамике, в особенности в
нелинейной оптике и физике плазмы, радиофизике, акустике. Теория нелинейных
волновых процессов имеет много общего с теорией нелинейных
колебаний.
Далее мы будем рассматривать волновые взаимодействия в условиях
сильного проявления дисперсии среды.
1. Уравнения для нелинейных волн.
Классификация нелинейных эффектов
Для конкретности изложения теории нелинейных волн с дисперсией
будем говорить о нелинейной электродинамике немагнитных сред, в частности,
о нелинейной оптике. Таким образом, будем считать, что
нелинейность будет проявляться для электрического поля.
Основными уравнениями для электромагнитных полей в нелинейном
диэлектрике по-прежнему являются уравнения Максвелла.
1
,
1
6
,
(1.1)
(1.2)
Стр.6
4, .
(1.3)
Только теперь связь поляризации среды с сильным электрическим
полем становится нелинейной.
В линейном приближении при учёте временной (частотной) дисперсии
материальное уравнение согласно принципу причинности может быть
записано в виде:
л ̂
где ̂ – тензор линейной диэлектрической восприимчивости среды. В сильных
полях поляризация среды будет содержать помимо линейного члена
также нелинейные члены:
нл ,
(1.5)
где – нелинейные части поляризации j-го порядка (квадратичная, кубичная
и т.д.), для которых можно записать феноменологические
выражения по аналогии с (1.4):
̂
, ,
̂
.
Здесь ̂ , ̂ ,… – тензоры нелинейных восприимчивостей: квадратичной,
кубичной и т.д.
Рассмотрим нелинейный отклик среды при распространении в ней нескольких
монохроматических плоских волн:
1
2
7
,
(1.8)
,,
(1.7)
(1.6)
,
(1.4)
Стр.7
где i ≠ 0 и =
. Волны (1.8) возбуждают в среде, как видно из (1.3)–(1.7),
волны линейной и нелинейной поляризации:
1
2
на комбинационных частотах
,
где n – порядок нелинейности члена. В результате процессов переизлучения
в нелинейной среде возбудятся электромагнитные волны на тех же комбинационных
частотах. Возбуждению высших гармоник соответствуют
1, .
Вновь появившиеся волны в свою очередь могут принять участие во
взаимодействии с другими волнами. Несмотря на сложность общей картины,
можно провести классификацию нелинейных волновых эффектов по
типу нелинейности, на которой развивается волновой процесс, и по числу
волн, участвующих во взаимодействии. С этой целью рассмотрим структуру
линейной и нелинейной поляризации среды.
Линейная часть поляризации возбуждается каждым из электромагнитных
полей (1.8):
л ̂
1
2 ̂
или с учётом (1.9)
л ̂.
(1.11)
Квадратичная нелинейность. В такой среде возникает квадратичная
по полю поляризация (1.6). Подставим (1.8) в (1.6):
8
1
2
1
2 ̂
(1.9)
,
(1.10)
Стр.8