Приведение к каноническому виду уравнений в частных
производных второго порядка . <...> Общее решение линейного уравнения второго порядка
в частных производных . <...> Краевые задачи для уравнения Лапласа и Пуассона
в пространстве и на плоскости . <...> Уравнения Лапласа и Пуассона в прямоугольнике . <...> Краевые задачи в круговых областях для уравнений
Лапласа и Пуассона . <...> Задача о малых колебаниях тяжелой нити . <...> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
224
249
269
288
290
306
Светлой памяти нашего учителя —
профессора Рогожина Владимира Сергеевича
посвящается
Предисловие
Предлагаемый задачник является результатом обобщения многолетнего опыта преподавания курсов «Уравнения с частными производными»
и «Уравнения математической физики» на дневном и вечернем отделениях механико-математического и физического факультетов Южного федерального университета. <...> Глава I
Метод характеристик
В главе I приводятся задачи для уравнений в частных производных второго порядка, решаемые методом характеристик. <...> Основная идея метода —
упростить исходное уравнение с помощью специальной замены независимых переменных, привести его к каноническому виду, а затем по возможности найти общее решение и решить специальные задачи (задачу Коши
или задачу с данными на характеристиках). <...> Для нахождения функций φ1 (x, y), φ2 (x, y), при которых замена переменных (1.2) приводит уравнение (1.1) к каноническому виду, составляется
следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:
A dy 2 − 2B dx dy + C dx2 = 0. <...> Тогда
уравнение (1.1) является гиперболическим в указанной области и после
деления на B(x, y) приобретает канонический вид. <...> Метод характеристик
При A ̸= 0 уравнение (1.4) разрешается относительно dy и распадается
на два уравнения: <...> При замене переменных (1.2) производные функции u = u(ξ, η) =
= u(ξ(x, y), η(x, y)) по старым переменным x, y, как известно из анализа,
1
Если общее решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка разрешено
относительно произвольной постоянной <...>
Основные_методы_решения_практических_задач_в_курсе_Уравнения_математической_физики.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Факультет математики, механики и компьютерных наук
С. Н. Кудряшов
Т. Н. Радченко
ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
В КУРСЕ «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ»
Учебное пособие
Ростов-на-Дону
Издательство Южного федерального университета
2011
Стр.1
УДК 517.95
ББК 22.311
К 88
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Южного федерального университета
Рецензенты:
доктор физико-математических наук, профессор Наседкин А. В.;
кандидат физико-математических наук, доцент Цибулин В.Г.;
кандидат физико-математических наук,
доцент Виноградова Г.Ю.;
кандидат физико-математических наук, доцент Цвиль М.М.
Учебное пособие подготовлено и издано в рамках национального
проекта «Образование» по «Программе развития федерального
государственного образовательного учреждения высшего
профессионального образования “Южный федеральный
университет” на 2007–2010 гг.»
Кудряшов, С. Н.
К 88 Основные методы решения практических задач в курсе
«Уравнения математической физики»: учебное пособие /
С. Н. Кудряшов, Т. Н. Радченко ; Южный федеральный университет.
— Ростов-на-Дону : Издательство Южного федерального
университета, 2011. — 308 с.
ISBN 978-5-9275-0879-2
Данное учебное пособие является результатом значительной
переработки четырех методических указаний А. Д. Алексеева,
Т. Н. Радченко, В. С. Рогожина и Э.Г. Хасабова, опубликованных
в УПЛ РГУ в 1992 году. Добавлено много новых задач, приведены
подробные решения стандартных задач. Расширена теоретическая
часть.
Пособие будет полезно при изучении теоретического курса «Уравнения
математической физики» студентами факультета математики,
механики и компьютерных наук, физического факультета и факультета
высоких технологий.
ISBN 978-5-9275-0879-2
⃝ С. Н. Кудряшов, Т. Н. Радченко, 2011
c
⃝ Южный федеральный университет, 2011
c
c
⃝ Оформление. Макет. Издательство
Южного федерального университета, 2011
УДК 517.95
ББК 22.311
Стр.2
Оглавление
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Глава I. Метод характеристик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
§ 1. Приведение к каноническому виду уравнений в частных
производных второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
§ 2. Общее решение линейного уравнения второго порядка
в частных производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
§ 3. Задача Коши для уравнения в частных производных второго
порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
§ 4. Задачи с данными на характеристиках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье . . 49
§ 1. Уравнение колебания струны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
§ 2. Уравнение продольных колебаний стержня . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
§ 3. Общая схема метода Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
§ 4. Задачи о колебании в среде с сопротивлением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
§ 5. Неоднородные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.1. Стационарная неоднородность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2. Неоднородные задачи со специальными неоднородностями . 72
5.3. Вынужденные колебания физических объектов
с неоднородностями общего вида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
§ 6. Задача о колебании прямоугольной мембраны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Глава III. Уравнения параболического типа. Метод Фурье . . 104
§ 1. Основные уравнения. Однородные начально-краевые задачи . . . 104
§ 2. Краевые условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Стр.3
4
§ 3. Теплопроводность шарообразных тел с центральносимметричным
распределением температуры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Глава IV. Уравнения эллиптического типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
§ 1. Краевые задачи для уравнения Лапласа и Пуассона
в пространстве и на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
§ 2. Уравнения Лапласа и Пуассона в прямоугольнике . . . . . . . . . . . . . . 132
§ 3. Краевые задачи в круговых областях для уравнений
Лапласа и Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Глава V. Метод интегральных преобразований . . . . . . . . . . . . . 160
§ 1. Преобразование Фурье и его свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
§ 2. Задача о теплопроводности бесконечного стержня . . . . . . . . . . . . . . 163
§ 3. Синус-, косинус-преобразования Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
3.1. Косинус-преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
3.2. Синус-преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
§ 4. Преобразование Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.1. Функция-оригинал. Функция-изображение . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.2. Основные свойства преобразования Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.3. Таблица изображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.4. Определение функции-оригинала по известному
изображению . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Глава VI. Задачи, решение которых требует привлечения
функций Бесселя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
§ 1. Введение в теорию функций Бесселя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
1.1. Радиальные колебания круглой мембраны . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
1.2. Задача о малых колебаниях тяжелой нити . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Ответы к задачам
207
Ответы к задачам главы I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Стр.4
5
Ответы к задачам главы II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
Ответы к задачам главы III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
Ответы к задачам главы IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
Ответы к задачам главы V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
Ответы к задачам главы VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
Литература
306
Стр.5