Казанский институт (филиал)
Российского государственного торгово-экономического университета
_______________________________________________________
кафедра информатики и высшей математики
ТАЛЫЗИН В.А.
МАТЕМАТИКА-4
учебно-методическое пособие
КАЗАНЬ-2003г.
Стр.1
Тема 1. Модели управления товарными запасами
Задачи управления запасами составляют многочисленный класс экономических задач.
При этом используются различные модели управления запасами. Рассмотрим некоторые из
них.
Модель управления одно-номенклатурными запасами без дефицита.
Пополнение склада товаром одной номенклатуры происходит партиями объема s (ед.
товара) дискретно во времени с интервалом поставок
. Завоз товара выполняется без задержек,
мгновенно. Дефицит товара исключается, а объем склада считается неограниченным.
Затраты
на доставку одной партии товара не зависят от объема партии и составляют
k денежных ед., а затраты на хранение одной единицы товара в единицу времени равны 1
c
денежных ед. За плановый период T единиц времени требуется осуществить поставку Q
единиц товара. Спрос на товар является постоянным и поэтому объем продаж в единицу
времени (интенсивность)
T const
Q
.
Задача управления товарными запасами состоит в определении такого объема партии
s , при котором суммарные затраты на создание и хранение товарного запаса были бы минимальными.
Обозначим
через C суммарные затраты,
з
х
на хранение. Тогда после формализации получим следующую математическую модель задачи:
требуется найти значение переменной s так, чтобы функция
1 2
s c sT
C C C k Q
з
х
so
2 .
1
c T
kQ
метры товароснабжения:
- число поставок за плановый период
- интервал между поставками
o
T
n
o
принимала наименьшее значение.
Оптимальное решение задачи определяется формулой Уилсона
(2)
По найденному оптимальному объему партии находятся другие оптимальные параn
Q ;
s
o ;
- средний текущий запас на складе z ;
- минимальные суммарные затраты Co
o
s
2
o
2kc1QT .
Задача 1. Потребность микрорайона г. Казани, обслуживаемого торговым предприятием,
в сахаре определена на плановый период T 2 года в объеме 640 т. Стоимость
организации заказа и доставки одной партии в магазин равна k 45 рублей за партию. Издержки
хранения товара составляют c1
стабильный, определить оптимальные показатели управления товарными запасами:
o
s n z ,
o
,
o
,
o
o
,C .
Решение. Оптимальные значения искомых показателей находим из условия минимума
суммарных затрат (1). Единицей времени будем считать год.
Размер одной поставки определим по формуле Уилсона (2)
so
2
c T
kQ
1
2 45 640000
0,08 2
и далее вычислим другие параметры:
- число поставок за планируемый период T 2 года
18974 (кг)
0,08 руб за 1 кг в год. Полагая, что спрос на сахар
o
(1)
C - затраты на доставку товара, C - затраты
Стр.2
n Q
o o
n
o o
s
640000
18974
640000
34
o o
2
1
o
s
o
- объем одной поставки в пересчете для целого значения o
s Q
- средний текущий запас на складе
z
- интервал между поставками в днях
T
- затраты на хранение
C c s T
o
o
x
з
1 2
- затраты на транспортировку сахара
C k Q
s
- минимальные суммарные издержки
Co
Оптимальные значения o
x
ченные расчетные значения Cx
числа поставок o
0,08 18824
2
2 505
o o 45 640000 1 ,9529
18824
з
1 ,9 (руб);
(руб);
2 1kcQT 2 45 0,08 640000 3036 (руб).
C и o
o 1505 ,9 и Cз
C , согласно теории, должны совпадать, однако полуo
1529 ,9 не равны, что связано с округлением
n до целого значения.
Модель управления одно-номенклатурными запасами с дефицитом.
В отличие от содержательной постановки предыдущей задачи на складе допускается
наличие дефицита, который при очередной поставке мгновенно ликвидируется, а величина
потерь на единицу товара в единицу времени из-за неудовлетворенного спроса составляет д
c
денежных единиц.
В данной модели в функцию суммарных затрат C наряду с з
сти д
разить функцией двух переменных
C z s
)
C и х
С необходимо ввеС
- затраты на штраф из-за дефицита.
В итоге после формализации суммарные издержки за плановый период T можно вы(
, )
s c z T
k Q
2
1
2s
c s z T
( )
2
д
2s
,
.
(3)
где z - максимальный запас товара на складе, s - объем завозимой партии товара,
(s z - объем накопленного дефицита между поставками товара
Оптимальные значения s и z находятся из условия минимума функции (3):
д
s 2kQ
c1T
o
д
z
где
д с1
cд
сд
спроса.
Отсюда определяются оптимальные значения других параметров товароснабжения
для модели управления запасов с дефицитом:
o
s
o
д
д ,
,
(4)
(5)
- величина, называемая плотностью убытков из-за неудовлетворенного
365
n
18824
2
34
2 365
33,73 34;
n
18823,5 18824 (кг);
9412 (кг);
21,47 21,5 (дн.);
Стр.3
- число поставок за плановый период n Q ;
s
o
д
- интервал поставок
o
д
T
n
- суммарные издержки C 2kc1QT д
o
o
д
o
д
;
- время наличия дефицита t z
s
s
o
д
o
д
o
o
д
.
Задача 2. В задаче 1 определить показатели управления запасами сахара при наличии дефицита,
если потери из-за несвоевременной реализации единицы товара составляют cд
0,38
руб. за 1 кг в год.
Решение. В данной модели решение находится из условия минимума суммарных затрат
(3). Определим вначале плотность убытков из-за дефицита
0 38
д c c
cд
1
- объем партии s
o
д
- число поставок
c T д
2
1
n Q
s
o
д
o
д
д
0 08 0 38 0 826
,
,
,
0,08 2 0,826 20877
2 45 640000
30,65 31;
o
д
o
д
д
640000 20645 (кг);
31
д
z
д
8 ,5526
(кг);
,
(кг);
.
Далее вычислим оптимальные параметры товародвижения:
kQ
20877
640000
- объем партии в пересчете для целого числа поставок s Q
n
- максимальный запас сахара на складе z o
o
д
- средний текущий запас сахара на складе
T
- интервал поставок в днях
o
д
- время наличия дефицита tд
s
s
- затраты на хранение
o
x
o
д
o
д
C c z T
o
д
1 2
- затраты на транспортировку C k nд
o
з
o
д
д
- убытки из-за дефицита C c T s z 0,38 220645
2
- суммарные издержки C C C C 1 ,2 1395 2 ,5 996
o
o
x
o
з
o
д
364
37
что связано с уменьшением среднего текущего запаса сахара (zд < )o
o
o
д
2s
o
д
o
д
n
z
o
д
o
д
o
д
z o
o
2
1
365 2 365
31
0,08 17053
2
20645
sд
0,826 20645 17053 (кг);
2 17053
1
23,5 (дн.);
20645
17053
2 364
45 31 1395
o
235 4 09 (дн.);
, ,
1 ,2 (руб);
(руб).
2 20645
17093
237,5 (руб);
2
2 ,7 (руб).
Из приведенных расчетов видно, что оптимальный объем поставки в задаче с дефицитом
больше, чем в задаче без дефицита. Это приводит к снижению затрат на транспортировку
товара. В данном примере для задачи с дефицитом также меньше затраты на хранение,
z . Убытки из-за дефицита
в рассматриваемом примере невелики из-за небольшого значения удельного коэффициента
cд
. Поэтому и суммарные издержки (2996,7) в задаче с дефицитом меньше, чем в задаче
без дефицита (3036). Например, если коэффициент cд
0 7, , то убытки из-за дефицита
;
o
д
Стр.4
составят уже величину 437,5 руб и общие затраты в 3312,7 руб будут больше, чем в задаче
без дефицита.
Модель управления многономенклатурными запасами.
чает n наименований. Спрос по каждому виду номенклатуры является постоянным и за указанное
время требуется поставить i
Предполагается, что поставки осуществляются мгновенно с интервалом поставок i
для i -го вида номенклатуры, дефицит товаров не допускается и заказы по разным видам
номенклатуры товаров выполняются независимо. Удельные затраты за доставку составляют
ki (ден. ед.), а на хранение i
c (ден. ед.) по i -у виду номенклатуры товаров. Средний текущий
суммарный уровень запасов по всем видам номенклатуры товаров не должен превышать
G единиц, что связано с ограниченностью емкости склада.
Пусть i
s - объем завозимой партии для i -го вида номенклатуры товаров. Тогда общие
затраты по всем видам номенклатуры за время T определятся выражением
C k Qi
si
n
i1
2
1
si
o
n
i
i1
Вначале задача решается без учета ограничений (5) и определяется оптимальный размер
партий каждого вида номенклатуры по формуле Уилсона
n
2k Qi
c T
i
i
Если условие (5) для объемов s выполняется, тогда найденные по формуле (6)
i
si
o
значения объемов партий являются решением задачи. В противном случае методом множителей
Лагранжа решается задача (4),(5) на условный экстремум. В этом случае наилучшее
решение находится по формуле
si
где множитель Лагранжа
2 )T G2
i
n
2k Qi
i1
(ci
(ci 2 ) ,
2k Qi
i
T i 1,2,...,n ,
.
(7)
определяется путем решения нелинейного уравнения
0
(8)
Задача 3. На базу АО «Спортинвентарь» в течение двух лет должны быть поставлены
велосипеды в следующем ассортименте, затратах на поставку одной партии ik , затратах на
хранения одной единицы в течение месяца ic и объемах поставок i
Q (ед.):
Велосипеды
Дорожные
Спортивные
Гоночные
Детские
Подростковые
k (руб)
1000
i
1500
1800
800
900
c (руб)
1,0
i
1,5
2,0
0,5
0,8
Q (ед.)
200
i
90
70
150
100
,
i 1,2,...,
.
(6)
.
i
n c s T
i
i1
2 .
i
Требуется найти минимум функции (4) при следующем ограничении
s G
(4)
(5)
Номенклатура товаров, поступающих на склад в течение планового периода T , вклюQ
единиц товара i -го вида номенклатуры i ( 1,2,...,n) .
Стр.5