МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА РОССИИ Б. Н. ЕЛЬЦИНА
А. Г. Кислов, Г. К. Ольховиков, С. Ю. Уколов
ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ:
язык, алгебра, исчисления
Учебное пособие
Рекомендовано методическим советом УрФУ
в качестве учебного пособия для студентов,
обучающихся по программе бакалавриата
по социально-экономическим и гуманитарным
направлениям подготовки
Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2012
Стр.2
ББК Ю422я73-1
УДК 16(075.8) + 510.6(075.8)
К445
Рецензенты:
В. О. Ло б о в и ко в , доктор философских наук, профессор
(Институт философии и права УрО РАН)
Н. В. Ядык и н а, кандидат философских наук, доцент
(Уральская государственная юридическая академия)
Кислов, А. Г.
К445
Логика высказываний: язык, алгебра, исчисления : учеб. пособие
/ А. Г. Кислов, Г. К. Ольховиков, С. Ю. Уколов. — Екатеринбург :
Изд-во Урал. ун-та, 2012. — 116 с.
ISBN 978-5-7996-0773-9
Логика высказываний рассматривается в данном учебном пособии
применительно к восприятию студентов-гуманитариев, с более подробным,
чем в классических учебниках, изложением наиболее важных ее
разделов.
Адресовано студентам, изучающим курс «Логика» в рамках социально-экономических
и гуманитарных направлений подготовки.
ББК Ю422я73-1
УДК 16(075.8) + 510.6(075.8)
ISBN 978-5-7996-0773-9
© Уральский федеральный университет, 2012
© Кислов А. Г., Ольховиков Г. К., Уколов С. Ю., 2012
Стр.3
ОГЛАВЛЕНИЕ
ОТ АВТОРОВ ............................................................................................... 5
Глава 1
ЯЗЫК ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
§ 1. Высказывания .................................................................................... 8
§ 2. Логические связи между высказываниями ................................... 10
§ 3. Синтаксис логики высказываний ................................................... 15
§ 4. Семантика классической логики высказываний .......................... 21
§ 5. Метод истинностных таблиц .......................................................... 24
§ 6. Классификация формул .................................................................. 27
§ 7. Логические отношения между формулами ................................... 30
§ 8. Метод приведения к абсурду .......................................................... 33
§ 9. Метод аналитических таблиц ......................................................... 36
Глава 2
АЛГЕБРА ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
§ 10. Что такое алгебра? ......................................................................... 39
§ 11. Нормальные формы ....................................................................... 54
§ 12. Соотношение алгебры классической логики
высказываний с дру гими видами булевых алгебр...................... 59
§ 13. Совершенные нормальные формы .............................................. 65
§ 14. Дополнительные связки ................................................................ 70
Глава 3
АКСИОМАТИЧЕСКОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
§ 15. Содержательная и формальная аксиоматика .............................. 75
§ 16. Аксиомы, основные определения и теоремы ............................ 77
3
Стр.4
Глава 4
ИСЧИСЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ВЫВОДОВ
В ЛОГИКЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
§ 17. Неформальные соображения ........................................................ 83
§ 18. Определения .................................................................................. 89
§ 19. Правила заключения и выводы
натурального исчисления высказываний .................................... 92
§ 20. Некоторые теоремы и производные правила .............................. 96
§ 21. Теоремы о непротиворечивости и полноте ............................... 100
§ 22. Некоторые эвристические соображения ................................... 104
§ 23. Дальнейшее обсуждение ............................................................ 109
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА .................................................... 114
Стр.5
ОТ АВТОРОВ
В данном учебном пособии рассматривается только классическая
логика высказываний (или классическая пропозициональная1
логика), своеобразная «первая ступень» современной символической
(математической) логики. В дополнение к известным учебникам
ключевые разделы излагаются в нем более подробно, с расчетом
на восприятие студентов-гуманитариев.
Пособие призвано подготовить студентов к дальнейшему
освоению сложных и содержательно интересных разделов современной
логики. Прежде всего, это логика предикатов, язык которой
намного богаче языка логики высказываний и полностью содержит
в себе последний; различные системы неэкстенсиональной
и неклассической логики (модальные, многозначные, интуиционистские,
паранепротиворечивые, релевантные и многие другие);
металогические вопросы, относящиеся к теории построения
самих логических систем и возможностей доказательства таких их
свойств, как непротиворечивость и полнота.
Если следовать методу изложения курса логики, принятому
в одном из наиболее удачных, по нашему мнению, учебников2
,
теория моделей должна предварять теорию доказательств. Предлагаемое
учебное пособие также следует этому порядку: первые две
главы посвящены теории моделей логики высказываний.
В главе 1 описываются синтаксис логики высказываний
и семантика классической логики высказываний, излагается
вопрос о формализации («переводе») предложений естественного
1
Термин «пропозиция» (от лат. propositio — основное положение, предпосылка)
в нашем случае должен прочитываться просто как синоним термина «высказывание»,
хотя многообразие трактовок слова «пропозиция» (это и «суждение»,
и «предложение», и «положение дел», и даже «ситуация» или «событие»)
составляет известную проблему.
2 Клини С. К. Математическая логика. М., 1973.
5
Стр.6
Зав. редакцией М. А. Овечкина
Редактор Е. И. Маркина
Корректор Е. И. Маркина
Компьютерная верстка Н. Ю. Михайлов
План выпуска 2012 г. Подписано в печать 28.12.2012.
Формат 60×84 1
Уч.-изд. л. 6,8. Усл. печ. л. 6,7. Тираж 300 экз. Заказ № 2403.
/16
Издательство Уральского университета
620000, г. Екатеринбург, ул. Тургенева, 4.
Отпечатано в Издательско-полиграфическом центре УрФУ.
620000, г. Екатеринбург, ул. Тургенева, 4.
Тел.: +7 (343) 350-56-64, 350-90-13.
Факс: +7 (343) 358-93-06.
E-mail: press.info@usu.ru
. Бумага офсетная. Гарнитура Times.
Стр.117